(Sở Lâm Đồng 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho đường thẳng $ \left ( { d } \right ):\frac { x-1 } { 1 }=\frac { y } { 2 }=\frac { z+2 } { 1 } $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):3x-y+z-25=0 $. Một đường thẳng $ \left ( { d' } \right ) $ cắt trục $ Oz $ tại điểm $ M $, cắt đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $tại điểm $ N $ và $ \left ( { d' } \right ) $ song song với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $ MN $ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Do điểm $ M $ thuộc trục $ Oz $ nên $ M\left ( { 0;0;z_{ M } } \right ) $. Đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ có phương trình tham số: $ \left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=2t \\ z=-2+t \end{array} \right. $ Do điểm $ N $ thuộc đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ nên $ N\left ( { t+1;2t;t-2 } \right ) $. Khi đó $ \overset\rightarrow { MN }=\left ( { t+1;2t;t-2-z_{ M } } \right ) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ \left ( { d' } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ có một vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 3;-1;1 } \right ) $. Do đường thẳng $ \left ( { d' } \right ) $ song song với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ nên $ \overset\rightarrow { MN }⋅\overset\rightarrow { n }=0⇔3⋅\left ( { t+1 } \right )-1⋅2t+\left ( { t-2-z_{ M } } \right )=0 $ $ ⇔z_{ M } =2t+1 $ Khi đó $ \overset\rightarrow { MN }=\left ( { t+1;2t;-t-3 } \right ) $ $ MN ^ { 2 } =\left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -t-3 } \right ) ^ { 2 } =6t ^ { 2 } +8t+10 $ Hàm số $ f\left ( { t } \right )=6t ^ { 2 } +8t+10 $ là hàm bậc hai có $ a=6>0 $, có đỉnh $ I\left ( { -\frac { 2 } { 3 };\frac { 22 } { 3 } } \right ) $ Do đó $ f\left ( { t } \right ) $ đạt giá trị nhỏ nhất là $ \frac { 22 } { 3 } $ khi $ t=-\frac { 2 } { 3 } $ Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $ MN $ bằng $ \sqrt[] { \frac { 22 } { 3 } }≈2,71 $.