Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ $ Axyz $ như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng $ AA' $, $ BB',CC' $ và $ DD' $. Phần mái nhà là tứ giác $ A'B'C'D' $ và hình vuông $ ABCD $ nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng $ AB=25\,{ \rm{ m } } $, $ AA'=BB'=4{ \rm{ m } } $ và $ CC'=DD'=3\,{ \rm{ m } } $.

a) Đúng.Với hệ trục tọa độ đã chọn ta có điểm $ A'\left ( { 0;0;4 } \right ) $ b) Đúng. Ta có tọa độ điểm $ D'\left ( { 25;0;3 } \right ) $ nên ta có $ \overset\rightarrow { A'D' }=\left ( { 25;0;-1 } \right ) $ nên phương trình tham số của $ A'D' $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=25t \\ y=0 \\ z=4-t \end{array} \right. $ c) Sai. Ta có tọa độ điểm $ E\left ( { 0;0;7 } \right ) $, $ B\left ( { 0;25;0 } \right ),C\left ( { 25;25;0 } \right ),D\left ( { 25;0;0 } \right ) $. Tọa độ điểm $ M\left ( { a;b;c } \right ) $ thỏa mãn $ MA=MB=MC=MD=\sqrt[] { \frac { 697 } { 2 } } $ nên ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =\frac { 697 } { 2 } \\ a ^ { 2 } +\left ( { b-25 } \right ) ^ { 2 } +c ^ { 2 } =\frac { 697 } { 2 } \\ \left ( { a-25 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b-25 } \right ) ^ { 2 } +c ^ { 2 } =\frac { 697 } { 2 } \\ \left ( { a-25 } \right ) ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =\frac { 697 } { 2 } \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 25 } { 2 } \\ b=\frac { 25 } { 2 } \\ c=6 \end{array} \right.⇒M\left ( { \frac { 25 } { 2 };\frac { 25 } { 2 };6 } \right ) $ Tính $ ME=\sqrt[] { \left ( { \frac { 25 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 25 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 7-6 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 1254 } } { 2 } $ d) Sai. Ta có $ \overset\rightarrow { u }=\overset\rightarrow { A'D' }=\left ( { 25;0;-1 } \right ) $, vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $ Oxy $ là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 0;0;1 } \right ) $ nên ta có $ sin\alpha =\frac { \left | { -1 } \right | } { \sqrt[] { 25 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { 1 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 626 } } $ Suy ra $ cos\alpha =\frac { 25 } { \sqrt[] { 626 } } $.