(THPT Mai Trúc Loan - Hà Tĩnh 2025) Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, cho hình vuông $ ABCD $ có $ B(3;0;8) $, $ D(-5;-4;0) $. Biết đỉnh $ A $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ và có tọa độ là những số nguyên, điểm $ M\left ( { x;y;z } \right ) $ thuộc đường thẳng $ CD $ sao cho $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $ x-y+z. $

Phần giải chi tiết: Ta có $ A\in \left ( { Oxy } \right )⇒A\left ( { a;b;0 } \right )⇒\left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 3-a;-b;8 } \right ) \\ \overset\rightarrow { AD }=\left ( { -5-a;-4-b;0 } \right ) \end{array} \right. $. $ ABCD $ là hình vuông $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} AB⊥AD \\ AB=AD \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD }=0 \\ AB=AD \end{array} \right. $ $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} \left ( { 3-a } \right )\left ( { -5-a } \right )-b\left ( { -4-b } \right )=0 \\ \left ( { 3-a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -b } \right ) ^ { 2 } +8 ^ { 2 } =\left ( { -5-a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -4-b } \right ) ^ { 2 } \end{array} \right. $ $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +2a+4b-15=0 \\ b=4-2a \end{array} \right. $ $ ⇒5a ^ { 2 } -22a+17=0 $ $ ⇒\left[ \begin{array}{l} a=1 \\ a=\frac { 17 } { 5 } \end{array} \right. $. Vì $ A $ có tọa độ nguyên nên $ a=1⇒b=2⇒A\left ( { 1;2;0 } \right )⇒\overset\rightarrow { AB }=\left ( { 2;-2;8 } \right ) $. Đường thẳng $ CD $ qua $ D\left ( { -5;-4;0 } \right ) $ và nhận $ \overset\rightarrow { u }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }=\left ( { 1;-1;4 } \right ) $ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số: $ \left \{ \begin{array}{l} x=-5+t \\ y=-4-t \\ z=4t \end{array} \right.{ \rm{ } }\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $. Gọi $ I $ là điểm thỏa $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }=\overset\rightarrow { 0 }⇒I\left ( { \frac { 7 } { 3 };\frac { 2 } { 3 };\frac { 16 } { 3 } } \right ) $. Ta có $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { MI }+2\overset\rightarrow { IB } } \right |=\left | { 3\overset\rightarrow { MI } } \right |=3MI $. Khi đó $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB } } \right | $ nhỏ nhất khi $ MI $ nhỏ nhất, tức là $ MI⊥CD $ tại $ M $. $ M\in CD⇒M\left ( { -5+t;-4-t;4t } \right )⇒\overset\rightarrow { MI }=\left ( { \frac { 22 } { 3 }-t;\frac { 14 } { 3 }+t;\frac { 16 } { 3 }-4t } \right ) $. $ \overset\rightarrow { MI }⊥\overset\rightarrow { u }⇒\overset\rightarrow { MI }.\overset\rightarrow { u }=0⇒t=\frac { 4 } { 3 }⇒M\left ( { -\frac { 11 } { 3 };-\frac { 16 } { 3 };\frac { 16 } { 3 } } \right )⇒x-y+z=7 $.