Một tàu ngầm bắt đầu lặn tại điểm $ P\left ( { 100;200;0 } \right ) $ với vận tốc 11,1 hải lý/giờ theo hướng tới mục tiêu $ Z\left ( { 500;600;-80 } \right ) $ cho đến khi đạt độ sâu 80 m. (1 hải lý/giờ sắp xỉ 1,852 km /h) Sau đó, tàu tiếp tục di chuyển ngang hướng theo vectơ $ \overset\rightarrow { u }=(1;1;0) $ với vận tốc 11 hải lý/giờ. Một quả cầu $ T $ được thả đồng thời khi tàu ngầm bắt đầu lặn, từ tàu nghiên cứu $ S\left ( { 700;800;0 } \right ) $ và rơi thẳng đứng xuống với vận tốc $ 0,5 m/s $. Tính khoảng cách tàu ngầm với quả cầu khi tàu ngầm đi đến thẳng dưới $ S $ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Ta có $ \overset\rightarrow { PZ }=(400;400;-80). $ - Đoạn lặn $ P\to Z $ (dừng ở độ sâu 80 m): $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=100+400t \\ y=200+400t\quad 0\leq t\leq 1 \\ z=0-80t \\ \end{array} \end{array} \right. $ - Chuyển động ngang từ $ Z $ theo vectơ $ \overset\rightarrow { u }=(1;1;0) $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=500+s \\ y=600+s\quad s\geq 0 \\ z=-80 \\ \end{array} \end{array} \right. $ - Quả cầu rơi thẳng đứng từ $ S $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=700 \\ y=800 \\ z=-0,5τ \\ \end{array} \quad τ\geq 0 \end{array} \right. $ - Tàu đi đến thẳng dưới $ S $ khi $ x=700,y=800⇒s=200 $. - Thời gian: lặn $ P\to Z:t_{ 1 } =\frac { \|\overset\rightarrow { PZ }\| } { 11,1 }=\frac { 80\sqrt[] { 51 } } { 5,7103 }≈100,05 s $; - Thời gian đi ngang tới dưới $ S:t_{ 2 } =\frac { 200\sqrt[] { 2 } } { 11 }=\frac { 200\sqrt[] { 2 } } { 5,6589 }≈49,98 s $. - Lúc đó quả cầu có $ z=-0,5\left ( { t_{ 1 } +t_{ 2 } } \right )≈-75 m $, còn tàu ở $ z=-80 m $, vậy khoảng cách giữa tàu ngầm với quả cầu bằng $ 5m $