(Sở Sóc Trăng 2025) Trong không gian với hệ trục toạ độ $ Oxyz $, mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ chứa đường thẳng $ d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y+1 } { -1 }=\frac { z } { 2 } $ và tạo với đường thẳng $ Δ:\left \{ \begin{array}{l} x=2+t \\ y=3 \\ z=-1+8t \end{array} \right. $ một góc lớn nhất, có phương trình là $ ax+by+cx-5=0 $.Tính $ a+b+c $.

Giả sử mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ có véc tơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { h;k;l } \right ),\,\,\left ( { h ^ { 2 } +k ^ { 2 } +l ^ { 2 } \neq 0 } \right ) $. Do $ \left ( { P } \right ) $ chứa d nên $ \left ( { P } \right ) $ đi qua điểm $ A\left ( { 1;-1;0 } \right )\in d $ và $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { h;k;l } \right )⊥\overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 2;-1;2 } \right ) $ $ ⇔\overset\rightarrow { n }.\overset\rightarrow { u_{ d } }=0⇔2h-k+2l=0⇔k=2h+2l $ nên $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { h;2h+2l;l } \right ) $. Ta có: $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { { \rm{ n } } },\overset\rightarrow { { \rm{ u } }_{ Δ } } } \right )=\frac { \left | { h+8l } \right | } { \sqrt[] { 65\left ( { 5h ^ { 2 } +8hl+5l ^ { 2 } } \right ) } }⇒\cos ^ { { \rm{ 2 } } } \left ( { \overset\rightarrow { { \rm{ n } } },\overset\rightarrow { { \rm{ u } }_{ Δ } } } \right )=\frac { h ^ { 2 } +16hl+64l ^ { 2 } } { 65\left ( { 5h ^ { 2 } +8hl+5l ^ { 2 } } \right ) } $ Nếu $ l=0 $$ ⇒\cos ^ { { \rm{ 2 } } } \left ( { \overset\rightarrow { { \rm{ n } } },\overset\rightarrow { { \rm{ u } }_{ Δ } } } \right )=\frac { 1 } { 325 } $. Nếu $ l\neq 0 $ $ ⇒\cos ^ { { \rm{ 2 } } } \left ( { \overset\rightarrow { { \rm{ n } } },\overset\rightarrow { { \rm{ u } }_{ Δ } } } \right )=\frac { t ^ { 2 } +16t+64 } { 65\left ( { 5t ^ { 2 } +8t+5 } \right ) }=f\left ( { t } \right ) $ với $ t=\frac { h } { l } $ (chia cả tử và mẫu cho $ l $), $ t\in \mathbb{R} $ Có $ f'\left ( { t } \right )=\frac { -72t ^ { 2 } -630t-432 } { 65\left ( { 5t ^ { 2 } +8t+5 } \right ) ^ { 2 } }=0 $$ ⇔\left[\begin{array}{l} t=-\frac { 3 } { 4 } \\ t=-8 \end{array}\right. $. $ f\left ( { -\frac { 3 } { 4 } } \right )=\frac { 29 } { 65 } $,$ f\left ( { -8 } \right )=0 $ và $ \lim_{ x\to ±\infty } f\left ( { t } \right )=\frac { 1 } { 325 } $ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số$ f\left ( { t } \right ) $ đạt tại $ t=-\frac { 3 } { 4 } $. Yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi $ \cos\left ( { \overset\rightarrow { { \rm{ n } } },\overset\rightarrow { { \rm{ u } }_{ Δ } } } \right ) $ lớn nhất hay$ f\left ( { t } \right ) $lớn nhất. Do đó $ \frac { h } { l }=-\frac { 3 } { 4 } $. Chọn $ h=3 $, $ l=-4 $ suy ra $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 3;-2;-4 } \right ) $. Phương trình mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua điểm $ A\left ( { 1;-1;0 } \right ) $ và nhận $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 3;-2;-4 } \right ) $ là 1 VTPT có phương trình là $ 3x-2y-4z-5=0 $. Vậy $ a+b+c=-3. $