Đúng/Sai · Câu 13
(Sở Bình Phước 2025) Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $ 8{ \rm{ m } },\,9{ \rm{ m } },\,10{ \rm{ m } } $. Ba chân cột là ba đinh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $ B\in Ox $, $ C\in Oy $, tia $ Oz $ cùng hướng với vectơ $ \overset\rightarrow { AA' } $. Chọn gốc tọa độ $ O $ trùng với trung điểm của $ AC $ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng: $ A\left ( { 0;-4;0 } \right ),B\left ( { 4\sqrt[] { 3 };0;0 } \right ),C\left ( { 0;4;0 } \right ) $ và $ A'\left ( { 0;-4;10 } \right ),B'\left ( { 4\sqrt[] { 3 };0;9 } \right ),C'\left ( { 0;4;8 } \right ) $
b) Sai: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ \overset\rightarrow { k }=\left ( { 0;\,0;\,1 } \right ). $
c) Đúng: $ \overset\rightarrow { A'B' }=\left ( { 4\sqrt[] { 3 };4;-1 } \right );\overset\rightarrow { A'C' }=\left ( { 0;8;-2 } \right ) $, khi đó vectơ pháp tuyến của $ \left ( { A'B'C' } \right ) $ là:
$ \overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { A'B' },\,\overset\rightarrow { A'C' } \right]=\left ( { 0;\,8\sqrt[] { 3 };\,32\sqrt[] { 3 } } \right )=8\sqrt[] { 3 }\left ( { 0;\,1;\,4 } \right ) $
Vậy Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { A'B'C' } \right ) $ là: $ \overset\rightarrow { n }=(0;1;4) $.
d) Sai: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là: $ \overset\rightarrow { k }=\left ( { 0;\,0;\,1 } \right ) $
Khi đó: $ \cos\left ( { \left ( { ABC } \right ),\left ( { A'B'C' } \right ) } \right )=\frac { \left | { 4 } \right | } { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 4\sqrt[] { 17 } } { 17 } $ nên $ \left ( { \left ( { ABC } \right ),\,\left ( { A'B'C' } \right ) } \right )≈14° $ nên mái nhà không ở mức tiêu chuẩn.