Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí $ A,B,C $ đôi một cách nhau $ 2m $, người ta thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể tại $ A ^ { ′ } ,B ^ { ′ } ,C ^ { ′ } $. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài $ 4 m;4,4 m;4,8 m $. Biết đáy bể là phẳng. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với gốc tọa độ $ O $ là trung điểm $ AB $

a) Sai. Ta có $ A(0;1;0);B(0;-1;0);C(\sqrt[] { 3 };0;0). $ b) Đúng. Khi đó, $ A(0;1;0);B(0;-1;0);C(\sqrt[] { 3 };0;0);A ^ { ′ } (0;1;4);B ^ { ′ } (0;-1;4,4);C ^ { ′ } (\sqrt[] { 3 };0;4,8) $. Ta có: $ \overset\rightarrow { A ^ { ′ } B ^ { ′ } }=(0;-2;-0,4);\overset\rightarrow { B ^ { ′ } C ^ { ′ } }=(\sqrt[] { 3 };1;0,4) $. Mặt phẳng $ A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ nhận $ \left[ \overset\rightarrow { A ^ { ′ } B ^ { ′ } };\overset\rightarrow { B ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right] $ làm một vectơ pháp tuyến. Ta có: $ \left[ \overset\rightarrow { A ^ { ′ } B ^ { ′ } };\overset\rightarrow { B ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right]=\left ( { \frac { -6 } { 5 };\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 5 };2\sqrt[] { 3 } } \right ) $. Mặt phẳng đáy bể là $ mp\left ( { A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ nên có vectơ pháp tuyến là $ n_{ 1 } =\left ( { \frac { -6 } { 5 };\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 5 };2\sqrt[] { 3 } } \right ) $ hay $ \overset\rightarrow { n }\left ( { -3;\,\sqrt[] { 3 };\,5\sqrt[] { 3 } } \right ) $ là một vecto pháp tuyến. c) Sai. Ta có $ G $ là trọng tâm của tam giác $ A'B'C' $ nên $ G\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 };\frac { 5 } { 3 };4,4 } \right ) $. Mặt nước là mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ có phương trình $ z=0 $. Khoảng cách từ $ G $ đến $ \left ( { Oxy } \right ) $ là $ d\left ( { G;\left ( { Oxy } \right ) } \right )=\left | { z_{ G } } \right |=4,4 $ nên phần dây dọi trong nước dài $ 4,4 $ m. d) Đúng. Mặt phẳng ngang (mặt nước) là mặt phẳng $ (Oxy) $ có vectơ pháp tuyến là $ k=(0;0;1) $. Nên góc giữa hai mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng ngang có cosin là: $ \cos\left ( { \left ( { A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right );(Oxy) } \right ) $ $ =\frac { \left | { \frac { -6 } { 5 }⋅0+\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 5 }⋅0+2\sqrt[] { 3 }⋅1 } \right | } { \sqrt[] { \left ( { \frac { -6 } { 5 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 5 } } \right ) ^ { 2 } +(2\sqrt[] { 3 }) ^ { 2 } }⋅\sqrt[] { 0 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 5\sqrt[] { 29 } } { 29 } $ Suy ra $ \left ( { \left ( { A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right );(Oxy) } \right )≈21,8 ^ { ° } $.Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng 21,8 độ.