Trong không gian $ Oxyz $, cho các điểm $ A\left ( { 1;\,1;\,0 } \right ) $, $ B\left ( { 5;\,-3;\,2 } \right ) $ và $ C\left ( { 0;\,4;\,-1 } \right ) $. Xét các điểm $ M $ thay đổi trong không gian sao cho diện tích tam giác $ ABM $ bằng $ 6\sqrt[] { 2 } $.

a) Sai. Ta có $ AB=\sqrt[] { \left ( { 5-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2-0 } \right ) ^ { 2 } }=6 $. b) Đúng. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4;\,-4;\,2 } \right )=2\left ( { 2;\,-2;\,1 } \right ) $ Đường thẳng $ AB $ đi qua điểm $ A\left ( { 1;\,1;\,0 } \right ) $ và nhận $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 2;\,-2;\,1 } \right ) $ làm vectơ chỉ phương. Vậy phương trình của $ AB $ là $ \frac { x-1 } { 2 }=\frac { y-1 } { -2 }=\frac { z } { 1 } $. c) Sai. Đường thẳng $ AB $ đi qua điểm $ A\left ( { 1;\,1;\,0 } \right ) $ và nhận $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 2;\,-2;\,1 } \right ) $ làm vectơ chỉ phương. Ta có $ \left[ \overset\rightarrow { CA },\,\overset\rightarrow { u } \right]=\left ( { -1;\,1;\,4 } \right ) $. $ d\left ( { C,\,AB } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { CA },\,\overset\rightarrow { u } \right] } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u } } \right | } $$ =\frac { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } } } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\sqrt[] { 2 } $. d) Đúng $ S_{ ΔMAB } =6\sqrt[] { 2 } $$ ⇒\frac { 1 } { 2 }⋅d\left ( { M,AB } \right )⋅AB=6\sqrt[] { 2 } $$ ⇒d\left ( { M,\,AB } \right )=2\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ I $ là hình chiếu của $ C $ lên $ AB $. Ta có $ d\left ( { C,\,AB } \right )=CI=\sqrt[] { 2 } $. Để $ MC $ nhỏ nhất thì điểm $ M $nằm giữa hai đểm $ C $ và $ I $. Suy ra $ MC_{ min } =2\sqrt[] { 2 }-\sqrt[] { 2 }=\sqrt[] { 2 } $.