Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ $ \left ( { { \rm{ 42 } }\,{ \rm{ cm } }\,{ \rm{ ×42 } }\,{ \rm{ cm } } } \right ) $trong không gian $ Oxyz $ (giả sử $ \left | { i } \right |=\left | { j } \right |=\left | { k } \right |=1\,{ \rm{ cm } } $). Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là 100 m, trục $ d $ của nòng súng và cọc đỡ bia $ d' $ lần lượt có phương trình $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=t \\ y=2 \\ z=4 \end{array} \right. $ và $ d':\left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=2 \\ z=1+3t' \end{array} \right. $. Để bắn trúng hồng tâm (thang điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $ N\left ( { a;b;c } \right )\in d' $ và cách giao điểm của $ d $ và $ d' $ một khoảng 6 cm. Khi $ c < 0 $, tính giá trị biểu thức $ 2a-b+3c $.

Gọi $ I $ là giao điểm của $ d $ và $ d' $. Giải hệ $ \left \{ \begin{array}{l} t=1 \\ 2=2 \\ 4=1+3t' \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} t=1 \\ t'=1 \end{array} \right. ⇒I\left ( { 1;2;4 } \right ) $. Vì $ N\left ( { a;b;c } \right )\in d' ⇒ N\left ( { 1;2;1+3t' } \right ) $ và $ N $ cách giao điểm $ I $ một khoảng 6 cm nên $ IN=6 $ $ ⇔\sqrt[] { \left ( { 1-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 3t'-3 } \right ) ^ { 2 } }=6 $ $ ⇔\left | { 3t'-3 } \right |=6⇔\left[ \begin{array}{l} 3t'-3=6 \\ 3t'-3=-6 \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l} t'=3 \\ t'=-1 \end{array} \right. $. Với $ t'=3⇒N\left ( { 1;2;10 } \right ) $ (không thỏa yêu cầu đề bài). Với $ t'=-1⇒N\left ( { 1;2;-2 } \right ) $ (thỏa yêu cầu đề bài). Vậy $ a=1 $; $ b=2 $; $ c=-2⇒2a-b+3c=2.1-2+3.\left ( { -2 } \right )=-6 $.