Xét trong không gian $ Oxyz $, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc toạ độ $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $, đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $ A\left ( { -500;-300;500 } \right ) $ và $ B\left ( { -200;-200;450 } \right ) $. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất, toạ độ máy bay là $ \left ( { a;b;c } \right ) $. Tính giá trị của biểu thức $ P=a+b+c $.

Máy bay chuyển động theo đường thẳng $ Δ $ đi qua hai điểm $ A,\,B $ nên sẽ ở gần đài kiểm soát không lưu nhất khi nó ở vị trí $ H $là hình chiếu vuông góc của gốc $ O $ lên đường thẳng $ Δ $. + Đường thẳng $ Δ $đi qua$ A,\,B $ nên có VTCP là $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { 300;100;-50 } \right ) $do đó phương trình tham số là $ \left \{ \begin{array}{l} x=-500+6t \\ y=-300+2t \\ z=500-t \end{array} \right. $. + Gọi $ H $là hình chiếu vuông góc của $ O $ lên $ Δ $thì $ H\left ( { -500+6t;-300+2t;500-t } \right )⇒\overset\rightarrow { OH }\left ( { -500+6t;-300+2t;500-t } \right ) $, khi đó $ OH⊥Δ $ nên $ \overset\rightarrow { OH }.\overset\rightarrow { AB }=0⇔300\left ( { -500+6t } \right )+100\left ( { -300+2t } \right )-50\left ( { 500-t } \right )=0 $ $ ⇔t=100 $, suy ra $ H\left ( { 100;-100;400 } \right ) $. Vậy $ P=a+b+c=400 $ $ \left ( { km } \right ) $.