(Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Trong không gian tọa độ $ Oxyz $, cho các điểm $ A\left ( { 3;-5;7 } \right ) $, $ B\left ( { 4;-3;5 } \right ) $, $ C\left ( { 5;-2;1 } \right ) $ và điểm $ M\left ( { -1;3;6 } \right ) $.

a) đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { 1;2;-2 } \right ),\overset\rightarrow { AC }\left ( { 2;3;-6 } \right )⇒\left[ \overset\rightarrow { AB };\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { -6;2;-1 } \right )\,//\,\left ( { 6;-2;1 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ có véc-tơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n_{ ABC } }=\left[ \overset\rightarrow { AB };\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { 6;-2;1 } \right ) $ và đi qua $ A $ nên có phương trình: $ 6\left ( { x-3 } \right )-2\left ( { y+5 } \right )+z-7=0 ⇔6x-2y+z-35=0 $. b) đúng. Đường thẳng đi qua $ M $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ có véc-tơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\overset\rightarrow { n_{ ABC } }=\left ( { 6;-2;1 } \right ) $ nên có phương trình: $ \frac { x+1 } { 6 }=\frac { y-3 } { -2 }=\frac { z-6 } { 1 } $. c) sai. Gọi $ \overset\rightarrow { u }\left ( { x;y;z } \right ) $ $ \left ( { x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } \neq 0 } \right ) $. Vì đường thẳng nằm trong mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ nên $ \overset\rightarrow { u }.\overset\rightarrow { n_{ ABC } }=0 $$ ⇔6x-2y+z=0 $ $ \left ( { 1 } \right ) $. Đường thẳng vuông góc với trục $ Oy $ nên: $ \overset\rightarrow { u }\overset\rightarrow { j }=0 $$ ⇔y=0 $ $ \left ( { 2 } \right ) $. Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra: $ \left \{ \begin{array}{l} z=-6x \\ y=0 \end{array} \right. $. Chọn $ x=1 $ ta có véc-tơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;0;-6 } \right ) $. d) sai. Tọa độ điểm $ H $ là nghiệm của hệ: $ \left \{ \begin{array}{l} 6x-2y+z-35=0 \\ \frac { x+1 } { 6 }=\frac { y-3 } { -2 }=\frac { z-6 } { 1 } \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} 6x-2y+z=35 \\ x+3y=8 \\ y+2z=15 \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x=5 \\ y=1 \\ z=7 \end{array} \right. $. Suy ra: $ H\left ( { 5;1;7 } \right ) $ $ ⇒a=5;b=1;c=7⇒a+b-c=-1 $.