Một khinh khí cầu $ l $ xuất phát từ sân bay $ L(24;52;0) $ và sau đó được xác định tại $ P(20;42;2) $. Một trực thăng $ h $ bay thẳng đều cùng thời điểm trong ngày, xuất phát từ sân bay quân sự $ F(20;-8;0) $ hướng về đỉnh núi $ S(-4;32;16) $. Bức tường sương mù được mô tả bởi mặt phẳng $ E_{ ABC } $ với $ A(16;0;0),\quad B(0;16;0),\quad C(0;0;16). $ Gọi $ T $ là vị trí mà quỹ đạo bay của khinh khí cầu $ l $ và trực thăng $ h $ cắt nhau. Trên quỹ đạo bay tiếp theo, khinh khí cầu $ l $ đi vào tường sương mù tại $ N $. Tính khoảng cách $ TN $ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (các kích thước tính theo km).

Từ đề bài ta xác định được: Đường thẳng $ l $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=24-4t \\ y=52-10t\quad (t\in \mathbb{R}) \\ z=2t \\ \end{array} \end{array} \right. $ Đường thẳng $ h $: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=20-3s \\ y=-8+5s\quad (s\in \mathbb{R}) \\ z=2s \\ \end{array} \end{array} \right. $ Giải hệ $ 24-4t=20-3s,52-10t=-8+5s,2t=2s⇒t=s=4 $ $ ⇒T(8;12;8). $ Vì $ t=s=4>0 $ (cùng thời điểm kể từ lúc xuất phát) nên hai quỹ đạo có thể va chạm tại $ T $. Khinh khí cầu $ l $ gặp tường sương mù Mặt phẳng $ E_{ ABC } $: $ n=(1;1;1),\quad x+y+z-16=0. $ Giao với $ l $: $ \begin{array}{ll} (24-4t)+(52-10t)+ & 2t-16=0⇒76-12t-16=0⇒t=5 \\ & ⇒N(4;2;10) \\ \end{array} $ Khi đó:$ TN≈11 $km