Bốn ngôi sao $ \alpha ,\beta ,\gamma ,δ $ tạo thành một vùng không gian hình chóp tứ giác. Tọa độ các ngôi sao là: $ \alpha (4;4;8),\quad \beta (0;20;0),\quad \gamma (-16;16;4),\quad δ(-8;12;12) $ Một sao chổi bay theo đường thẳng qua hai điểm $ A(10;3;1) $ và $ B(4;7;3) $. Người ta thấy rằng sao chổi đi vào vùng không gian tại điểm $ S $ thuộc tam giác $ \alpha \beta \gamma $ và tại đó sao chổi rời khỏi vùng không gian hình chóp này tại điểm $ T $. Tính độ đường đi $ ST $ bằng bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (1 đơn vị $ =1000km $)

Dữ kiện $ u_{ AB } =(-6;4;2) $ Mặt phẳng $ (\alpha \beta \gamma ) $ có $ n_{ \alpha \beta \gamma } =\left[ \overset\rightarrow { \beta \alpha },\overset\rightarrow { \gamma \alpha } \right]=(2;9;17), $ nên phương trình tổng quát: $ 2x+9y+17z-180=0{ \rm{ . } } $ Tìm điểm $ S $ - giao của quỹ đạo và tam giác $ \alpha \beta \gamma $ Đường thẳng qua $ A(10;3;1),B(4;7;3) $ (dạng tham số): $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=10-6t \\ y=3+4t \\ z=1+2t \\ \end{array} \quad (t\in \mathbb{R}) \end{array} \right. $ Giao với $ (\alpha \beta \gamma ):2x+9y+17z-180=0 $: $ 2(10-6t)+9(3+4t)+17(1+2t)-180=0⇒t=2⇒S(-2;11;5). $ Tìm điểm $ T $ - nơi sao chổi rời khối chóp Pháp tuyến các mặt còn lại: $ n_{ \alpha \beta δ } =(8;7;10),\quad n_{ \alpha \gamma δ } =(5;8;-1),\quad n_{ \beta \gamma δ } =(-1;10;6). $ Ta có $ u_{ AB } ⋅n_{ \alpha \beta δ } =0 $ và $ u_{ AB } ⋅n_{ \alpha \gamma δ } =0 $ $ ⇒ $ đường thẳng song song hai mặt này, không cắt chúng. Mặt $ (\beta \gamma δ) $ có phương trình: $ -x+10y+6z-200=0 $ Giao với đường thẳng: $ -(10-6t)+10(3+4t)+6(1+2t)-200=0⇒t=3⇒T(-8;15;7). $ Suy ra: $ ST=2\sqrt[] { 14 }.1000≈7483 $km