Một khối thép không gỉ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. - Độ dài cạnh đáy lớn: 8 cm - Độ dài cạnh đáy nhỏ: 4 cm - Chiều cao: 8 cm Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đặt tại tâm đáy lớn. Tia laser khoan theo đoạn $PQ$ với: $P(-3,5;9,5;6),\quad Q(-6;16;8)$ Tính độ dài kênh khoan biết đầu vào nằm trong mặt $CDHG$ và đầu ra nằm trong mặt $ABFE$

Lời giải Quy ước $O(0;0;0)$ tại tâm đáy lớn, trục $Oz$ vuông góc đáy. Đáy lớn (cạnh 8): $A(-4;-4;0), B(4;-4;0), C(4;4;0), D(-4;4;0)$. Đáy nhỏ (cạnh 4) ở $z=8$: $E(-2;-2;8), F(2;-2;8), G(2;2;8), H(-2;2;8)$. Tia khoan qua $P(-3,5;9,5;6), Q(-6;16;8)$ có $\vec{v} = (-2,5; 6,5; 2)$. Phương trình tham số: $$ \begin{cases} x = -3,5-2,5t \\ y = 9,5+6,5t \\ z = 6+2t \end{cases} $$ Phương trình mặt phẳng: $CDHG$ chứa $D(-4;4;0), C(4;4;0), H(-2;2;8), G(2;2;8) \Rightarrow 4y+z-16=0$. $ABFE$ chứa $A(-4;-4;0), B(4;-4;0), E(-2;-2;8), F(2;-2;8) \Rightarrow -4y+z-16=0$. - Giao với $CDHG$: $4(9,5+6,5t) + (6+2t) - 16 = 0 \Rightarrow 38+26t+6+2t-16=0 \Rightarrow 28t = -28 \Rightarrow t=-1 \Rightarrow I(-1;3;4)$. - Giao với $ABFE$: $-4(9,5+6,5t) + (6+2t) - 16 = 0 \Rightarrow -38-26t+6+2t-16=0 \Rightarrow -24t = 48 \Rightarrow t=-2 \Rightarrow O(1,5; -3,5; 2)$. Chiều dài kênh khoan $IO$: $$ IO = \sqrt{(1,5 - (-1))^{2} + (-3,5 - 3)^{2} + (2-4)^{2}} = \sqrt{2,5^{2} + (-6,5)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{6,25 + 42,25 + 4} = \sqrt{52,5} = \frac{\sqrt{210}}{2} \text{ cm}. $$