Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, đáy rộng 8 m và cao 3 m. Cửa vào là hình thang $EFGH$ trong đó đoạn $AE=FB$, với $\|EF\|=4\text{ m}, G$ và $H$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $ES$ và $FS$. Một nguồn sáng đặt cách đỉnh $S$ 1 m ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa vào, tạo thành một vùng được chiếu sáng $EFG'H'$. Ở giữa cạnh sau $CD$ của lều có gắn một camera trên một cột thẳng đứng. Camera phải đặt ở độ cao ít nhất là bao nhiêu mét để quan sát được điểm $K$ là trung điểm của $H'G'$?

Lời giải Đặt hệ trục $Oxyz$ tại tâm đáy $O(0;0;0)$: $A(-4;-4;0), B(4;-4;0), C(4;4;0), D(-4;4;0), S(0;0;3)$. $E(-2;-4;0), F(2;-4;0)$. $G, H$ là trung điểm của $SE, SF \Rightarrow G(-1;-2;1,5), H(1;-2;1,5)$. Nguồn sáng $L(0;0;2)$ nằm trên $SO$. Đường chiếu qua $G$ có phương trình: $$ \begin{cases} x = -t \\ y = -2t \\ z = 2 - 0,5t \end{cases} $$ Giao với $z=0 \Rightarrow t=4 \Rightarrow G'(-4; -8; 0)$. Tương tự $H'(4; -8; 0)$. Trung điểm $M$ của $CD$ là $M(0;4;0)$. Trung điểm $K$ của $G'H'$ là $K(0;-8;0)$. Đặt camera tại $C_{m}(0;4;H)$ trên cột thẳng đứng. Muốn nhìn tới $K$ thì đường thẳng $C_{m}K$ phải đi qua đỉnh $S(0;0;3)$. Phương trình đường thẳng $C_{m}K$ qua $K(0;-8;0)$ và $C_{m}(0;4;H)$: $$ \begin{cases} x = 0 \\ y = -8 + 12t \\ z = 0 + Ht \end{cases} (0 \leq t \leq 1) $$ Tại $S(0;0;3) \Rightarrow y=0 \Rightarrow -8 + 12t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$. Tại $z=3 \Rightarrow H \cdot \frac{2}{3} = 3 \Rightarrow H = 4,5\text{ m}$. Vậy camera cần đặt ở độ cao 4,5 m.