Từ điểm $A(-7;-3;-8)$ qua điểm $B(-2;0;-9)$ một đường hầm thẳng tên Kuckucksloch sẽ được đào xuyên vào núi. Tương tự, từ điểm $C(4;-6;-6)$ qua điểm $D(7;-1;-8)$ một đường hầm thẳng tên Morgenstern cũng sẽ được xây dựng. Sau khi khoang xong 2 đường hầm sẽ gặp nhau tại điểm $S$. Từ điểm $S$, đường hầm Kuckucksloch tiếp tục đào theo hướng véc tơ $(2;1;2)$, cho đến khi đến điểm $P$ trên mặt đất mà đường hầm sẽ chạm tới. Trên đoạn $SP$, cách $P$ một khoảng 1200 m sẽ đào một lối thoát hiểm thẳng đứng. Tính độ sâu cần đào bằng bao nhiêu mét? (Mỗi đơn vị trong hệ tọa độ tương ứng 100 m. Mặt đất là mặt phẳng $xOy$)

Lời giải - Hầm Kuckucksloch qua $A, B$: $\vec{AB} = (5;3;-1)$. Phương trình: $$ \begin{cases} x = -7+5t \\ y = -3+3t \\ z = -8-t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) $$ - Hầm Morgenstern qua $C, D$: $\vec{CD} = (3;5;-2)$. Phương trình: $$ \begin{cases} x = 4+3s \\ y = -6+5s \\ z = -6-2s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R}) $$ Giải hệ giao điểm $k=m$: $$ \begin{cases} -7+5t = 4+3s \\ -3+3t = -6+5s \\ -8-t = -6-2s \end{cases} \Rightarrow t=4, s=3 \Rightarrow S(13;9;-12) $$ - Từ $S$ đào theo $\vec{u} = (2;1;2)$. Điểm chạm mặt đất $P$ ($z=0$): $$ \begin{cases} x = 13+2\lambda \\ y = 9+\lambda \\ z = -12+2\lambda \end{cases} \quad (\lambda \geq 0) $$ Giao với $z=0 \Rightarrow -12+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 6 \Rightarrow P(25; 15; 0)$. - Gọi $Q$ là điểm trong lòng núi trên đoạn $SP$, cách $P$ một khoảng 1200m ($12$ đơn vị). Vì độ dài $SP$ tương ứng với $\lambda = 6$, nên $Q$ cách $P$ một khoảng 12 đơn vị $\Rightarrow \lambda = 12$ tính từ $S$ (ngược chiều vectơ chỉ phương), hoặc tính theo vectơ: $Q = P + \frac{12}{\|\vec{SP}\|}\vec{PS}$. Thực tế, $\vec{SP} = (12; 6; 12)$, độ dài $SP = \sqrt{144+36+144} = 18$ đơn vị. $Q$ cách $P$ 12 đơn vị nên $Q = P + \frac{12}{18}\vec{PS} = P + \frac{2}{3}(S-P) = (25; 15; 0) + \frac{2}{3}(-12; -6; -12) = (17; 11; -8)$. - Độ sâu cần khoan: $|z_{Q}| = 8$ đơn vị = 800 m.