(Cụm Ninh Giang - Tứ Kỳ - Gia Lộc 2025) Cho $ F\left ( { x } \right )=\left ( { ax ^ { 2 } +bx+c } \right )e ^ { 2x } $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left ( { 2x ^ { 2 } +6x } \right )e ^ { 2x } $. Tính tổng$ a+b+2c $.

Cách 1: $ 2x ^ { 2 } +6x $ $ e ^ { 2x } $ $ 4x+6 $ $ \frac { 1 } { 2 }e ^ { 2x } $ $ 4 $ $ \frac { 1 } { 4 }e ^ { 2x } $ $ 0 $ $ \frac { 1 } { 8 }e ^ { 2x } $ $ =\left ( { 2x ^ { 2 } +6x } \right ).\frac { 1 } { 2 }e ^ { 2x } -\left ( { 4x+6 } \right ).\frac { 1 } { 4 }e ^ { 2x } +\frac { 1 } { 2 }e ^ { 2x } +C =\left ( { x ^ { 2 } +2x-1 } \right )e ^ { 2x } +C $. Suy ra $ a+b+2c=1+2+2\left ( { -1 } \right )=1 $. Cách 2: $ f\left ( { x } \right )=F'\left ( { x } \right )=\left ( { 2ax ^ { 2 } +\left ( { 2a+2b } \right )x+b+2c } \right )e ^ { 2x } $. Suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} 2a=2 \\ 2a+2b=6 \\ b+2c=0 \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=2 \\ c=-1 \end{array} \right. $. Vậy $ a+b+2c=1+2+2\left ( { -1 } \right )=1 $.