Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 17

Ta có $\lim_{x\to \pm\infty}y=\lim_{x\to \pm\infty}\frac{1}{f^2(x)-m}=\frac{1}{-m}$ vì $\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0$. Do đó:
Nếu $m=0$ thì đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f^2(x)-m}$ không có tiệm cận ngang.
Mặt khác phương trình $f^2(x)-m=0\Leftrightarrow f(x)=0$ vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Nếu $m\neq 0$ thì đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f^2(x)-m}$ có một tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{-m}$.
+ $m<0$: Phương trình $f^2(x)-m=0$ vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
+ $m>0$: $f^2(x)-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=\sqrt{m} \\ f(x)=-\sqrt{m} \end{array} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f(x)=-\sqrt{m}$ vô nghiệm với $\forall m>0$.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình $f(x)=\sqrt{m}$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0<m<1$.
Vậy $0<m<1$ thì đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f^2(x)-m}$ có 3 tiệm cận.