Bài tập nâng cao Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 16

Ta có $y'(x)=3ax^2+2bx+c$.
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt cực trị tại $x=0$, $x=2$. Do đó, ta có hệ
$\left\{ \begin{array}{l} y(0)=1 \\ y(2)=-3 \\ y'(0)=0 \\ y'(2)=0 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} d=1 \\ c=0 \\ 12a+4b=0 \\ 8a+4b=-4 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-3 \\ c=0 \\ d=1 \end{array} \right.$.
Vậy $y=f(x)=x^3-3x^2+1$.
Khi đó $y=\frac{(x^2-2x)\sqrt{2-x}}{(x-3)[f^2(x)-f(x)]}$ $=\frac{(x^2-2x)\sqrt{2-x}}{(x-3)(x^3-3x^2+1)(x^3-3x^2)}$ $=\frac{(x^2-2x)\sqrt{2-x}}{x^2(x-3)^2(x^3-3x^2+1)}$.
Ta có $x^2(x-3)^2(x^3-3x^2+1)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=3 \\ x=x_1\in(-1;\,0) \\ x=x_2\in(0;\,1) \\ x=x_3\in(2;\,3) \end{array} \right.$.
Hàm số $y=\frac{(x^2-2x)\sqrt{2-x}}{x^2(x-3)^2(x^3-3x^2+1)}$ có tập xác định $D=(-\infty;\,2]\setminus\left\{0;\,x_1;\,x_2\right\}$.
$\lim_{x\to 0^+}\frac{(x^2-2x)\sqrt{2-x}}{x^2(x-3)^2(x^3-3x^2+1)}$ $=\lim_{x\to 0^+}\frac{x(x-2)\sqrt{2-x}}{x^2(x-3)^2(x^3-3x^2+1)}$ $=\lim_{x\to 0^+}\frac{(x-2)\sqrt{2-x}}{x(x-3)^2(x^3-3x^2+1)}=-\infty$.
Suy ra $x=0$ là đường tiệm cận đứng.
$\lim_{x\to x_1^+}\frac{(x^2-2x)\sqrt{2-x}}{x^2(x-3)^2(x^3-3x^2+1)}=+\infty$, $\lim_{x\to x_2^+}\frac{(x^2-2x)\sqrt{2-x}}{x^2(x-3)^2(x^3-3x^2+1)}=+\infty$.
Suy ra $x=x_1$ và $x=x_2$ cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.