Biết $m$ có giá trị thỏa mãn để hàm số $f(x) = \begin{cases} 2x + m & \text{khi } x \leq 1 \\ \frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1} & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $m$ là bao nhiêu?

Lời giải * Khi $x < 1$ thì $f(x) = 2x + m$ là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng $(-\infty; 1)$. * Khi $x > 1$ thì $f(x) = \frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $(1; +\infty)$ nên liên tục trên khoảng $(1; +\infty)$. * Khảo sát tính liên tục của hàm số tại điểm ranh giới $x = 1$: + Giá trị hàm số và giới hạn trái: $$ f(1) = 2 \cdot 1 + m = 2 + m $$ $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (2x + m) = 2 + m $$ + Giới hạn phải tại điểm nối: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x - 1)(x^{2} + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} (x^{2} + 2) = 1^{2} + 2 = 3 $$ Hàm số $f(x)$ liên tục trên toàn tập số thực $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm $x = 1$: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) \Leftrightarrow 2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1 $$ Vậy hằng số cần tìm là $m = 1$.