Bài tự luận · Bài 3
Bài tự luận Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes · Bài 3
(CD12) Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng. Hộp thứ hai có 6 quả bóng bàn màu trắng và 4 quả bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai.
Xem lời giải
Lời giải
Vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì có hai khả năng: khả năng thứ nhất là lấy được 3 quả bóng bàn màu trắng và 1 quả bóng bàn màu vàng; khả năng thứ hai là lấy được 2 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng.
Xét các biến cố:
$A$: "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai";
$B$: "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng";
$\bar B$: "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng".
- Xét khả năng thứ nhất: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là $C_{5}^{4}$, có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra $P(B)=\frac{1\cdot 2}{C_{5}^{4} }=\frac{2}{5}$. Vì khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên $P(A\mid B)=\frac{5}{14}$.
- Xét khả năng thứ hai: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là $C_{5}^{4}$, có $C_{3}^{2}$ cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra $P( \bar B)=\frac{C_{3}^{2}\cdot 1}{C_{5}^{4} }=\frac{3}{5}$. Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên $P(A\mid \bar B)=\frac{6}{14}$.
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
$P(A)=P(B)\cdot P(A\mid B)+P( \bar B)\cdot P(A\mid \bar B)=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{14}+\frac{3}{5}\cdot \frac{6}{14}=\frac{2}{5}.$
Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là $\frac{2}{5}$.
Xét các biến cố:
$A$: "Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai";
$B$: "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng";
$\bar B$: "Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng".
- Xét khả năng thứ nhất: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là $C_{5}^{4}$, có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra $P(B)=\frac{1\cdot 2}{C_{5}^{4} }=\frac{2}{5}$. Vì khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên $P(A\mid B)=\frac{5}{14}$.
- Xét khả năng thứ hai: Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là $C_{5}^{4}$, có $C_{3}^{2}$ cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra $P( \bar B)=\frac{C_{3}^{2}\cdot 1}{C_{5}^{4} }=\frac{3}{5}$. Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên $P(A\mid \bar B)=\frac{6}{14}$.
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
$P(A)=P(B)\cdot P(A\mid B)+P( \bar B)\cdot P(A\mid \bar B)=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{14}+\frac{3}{5}\cdot \frac{6}{14}=\frac{2}{5}.$
Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là $\frac{2}{5}$.