(CD11) Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo $AC,BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}$. Qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD$ tại $M'$, qua $N$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AF$ tại $N'$.
a) Chứng minh rằng $\left( MNN' \right)\parallel(CDE)$.
b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AFD)$. Mặt phẳng $(P)$ cắt đường thẳng $EF$ tại $I$. Tính $\frac{FI}{FE}$, biết $\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $MM'\parallel AB,NN'\parallel AB$ nên $MM'\parallel NN'$. Suy ra $M,M',N',N$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Ta có $CD\parallel AB$ và $EF\parallel AB$ nên $C,D,F,E$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Do $AB\parallel CD$ nên $MM'\parallel CD$, suy ra $MM'\parallel(CDE)$.
Vì $\frac{AM}{AC}=\frac{AM'}{AD}$ và $\frac{BN}{BF}=\frac{AN'}{AF}$ nên $\frac{AM'}{AD}=\frac{AN'}{AF}$, suy ra $M'N'\parallel DF$, mà $DF\subset(CDE)$ nên $M'N'\parallel(CDE)$. Từ đó, suy ra $\left( MM'N' \right)\parallel(CDE)$, do đó $\left( MNN' \right)\parallel(CDE)$.
b) Ta có đường thẳng $AC$ cắt ba mặt phẳng song song $(ADF),(P),(BCE)$ lần lượt tại $A,M,C$; đường thẳng $FE$ cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự tại $F,I,E$.
Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có: $\frac{AM}{FI}=\frac{MC}{IE}=\frac{CA}{EF}\Rightarrow \frac{FI}{EF}=\frac{AM}{CA}$.
Mà $\frac{AM}{CA}=\frac{1}{3}$ nên $\frac{FI}{FE}=\frac{1}{3}$.
