Bài tự luận · Bài 31
Dạng 3. Ứng dụng định lí Thalès
Bài tự luận Hai mặt phẳng song song · Bài 31
(CD11) Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng $(AFD)\parallel(BEC)$.
b) Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AFD)$. Mặt phẳng $(P)$ cắt đường thẳng $AC$ tại $N$. Tính $\frac{AN}{NC}$.
a) Chứng minh rằng $(AFD)\parallel(BEC)$.
b) Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AFD)$. Mặt phẳng $(P)$ cắt đường thẳng $AC$ tại $N$. Tính $\frac{AN}{NC}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Mà $AD$ không thuộc mặt phẳng $(BEC)$, suy ra $AD\parallel(BEC)$. Tương tự, do $ABEF$ là hình bình hành nên $AF\parallel BE$, suy ra $AF\parallel(BEC)$. Mà $AD$, $AF$ cắt nhau nên $(AFD)\parallel(BEC)$.
b) Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BF$.
Ta có $I$ là trung điểm đoạn $AE$ và $M$ là trọng tâm của tam giác $ABE$ nên $M\in BI$ và $BM=\frac{2}{3}BI=\frac{1}{3}BF$, hay $FM=2MB$.
Vì $(AFD)\parallel(BEC),(AFD)\parallel(P)$ nên $(P)\parallel(BEC)$.
Ta có đường thẳng $FB$ cắt ba mặt phẳng song song $(ADF),(P),(BCE)$ lần lượt tại $F,M,B$; đường thẳng $AC$ cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự tại $A,N,C$.
Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có: $\frac{AN}{FM}=\frac{NC}{MB}\Rightarrow \frac{AN}{NC}=\frac{FM}{MB}=2$. Vậy $\frac{AN}{NC}=2$.