Bài tự luận · Bài 30
Dạng 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Bài tự luận Hai mặt phẳng song song · Bài 30
(CD11) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $G,I,K$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,A'B'C',A'B'B$.
a) Chứng minh rằng $IK\parallel\left( BCC'B' \right)$.
b) Chứng minh rằng $(AGK)\parallel\left( A'IC \right)$.
c) Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $K$ và song song với mặt phẳng $(ABC)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $A'C$ tại điểm $L$. Tính $\frac{LA'}{LC}$.
a) Chứng minh rằng $IK\parallel\left( BCC'B' \right)$.
b) Chứng minh rằng $(AGK)\parallel\left( A'IC \right)$.
c) Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $K$ và song song với mặt phẳng $(ABC)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $A'C$ tại điểm $L$. Tính $\frac{LA'}{LC}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B'C',BB'$. Do $I,K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $A'B'C',A'B'B$ nên $\frac{A'I}{A'M}=\frac{A'K}{A'N}=\frac{2}{3}$, suy ra $IK\parallel MN$. Mà $MN\subset\left( BCC'B' \right)$ nên $IK\parallel\left( BCC'B' \right)$.
b) Gọi $P$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó, mặt phẳng $(AGK)$ cũng là mặt phẳng $\left( AB'P \right)$, mặt phẳng $\left( A'IC \right)$ cũng là mặt phẳng $\left( A'MC \right)$.
Ta có $B'P\parallel MC$ nên $B'P\parallel\left( A'IC \right),AP\parallel A'M$ nên $AP\parallel\left( A'IC \right)$. Từ đó, suy ra $(AGK)\parallel(A'IC)$.
c) Với $K$ là trọng tâm của tam giác $A'BB'$, ta nhận được $\frac{B'K}{KA}=\frac{1}{2}$. Ta có đường thẳng $B'A$ cắt ba mặt phẳng song song $\left( A'B'C' \right),(\alpha),(ABC)$ lần lượt tại $B',K,A$; đường thẳng $A'C$ cũng cắt ba mặt phẳng trên theo thứ tự tại $A',L,C$. Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có:
$\frac{B'K}{A'L}=\frac{KA}{LC}=\frac{AB'}{CA'}\Rightarrow \frac{A'L}{LC}=\frac{B'K}{KA}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{LA'}{LC}=\frac{1}{2}$.