Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Nhị thức Newton · Bài 25
Cho khai triển $ \left ( { 1-2x } \right ) ^ { n } $ với $ n $ là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa $ x ^ { 3 } $ trong khai triển biết $ C_{ 2n+1 } ^{ 1 }+C_{ 2n+1 } ^{ 2 }+C_{ 2n+1 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2n+1 } ^{ n }=2 ^ { 4038 } -1 $.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết ta có: $ C_{ 2n+1 } ^{ 0 }+C_{ 2n+1 } ^{ 1 }+C_{ 2n+1 } ^{ 2 }+C_{ 2n+1 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2n+1 } ^{ n }=2 ^ { 4038 } $
Mặt khác $ C_{ 2n+1 } ^{ k }=C_{ 2n+1 } ^{ \left ( { 2n+1 } \right )-k } $, $ \forall k\in \mathbb{Z} $, $ 0\leq k\leq 2n+1 $ nên ta có:
$ C_{ 2n+1 } ^{ 0 }+C_{ 2n+1 } ^{ 1 }+C_{ 2n+1 } ^{ 2 }+C_{ 2n+1 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2n+1 } ^{ n } $
$ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { C_{ 2n+1 } ^{ 0 }+C_{ 2n+1 } ^{ 1 }+C_{ 2n+1 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2n+1 } ^{ 2n+1 } } \right ) $
$ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1+1 } \right ) ^ { 2n+1 } =2 ^ { 4038 } $.
$ \Rightarrow n=2019 $.
Xét khai triển nhị thức Niutơn: $ \left ( { 1-2x } \right ) ^ { 2019 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 2019 { C_{ 2019 } ^{ k }\left ( { -1 } \right ) ^ { k } 2 ^ { k } x ^ { k } } $.
Số hạng chứa $ x ^ { 3 } $ trong khai triển ứng với $ k=3 $.
Vậy hệ số của số hạng chứa $ x ^ { 3 } $ trong khai triển là: $ C_{ 2019 } ^{ 3 }\left ( { -1 } \right ) ^ { 3 } 2 ^ { 3 } $.
Mặt khác $ C_{ 2n+1 } ^{ k }=C_{ 2n+1 } ^{ \left ( { 2n+1 } \right )-k } $, $ \forall k\in \mathbb{Z} $, $ 0\leq k\leq 2n+1 $ nên ta có:
$ C_{ 2n+1 } ^{ 0 }+C_{ 2n+1 } ^{ 1 }+C_{ 2n+1 } ^{ 2 }+C_{ 2n+1 } ^{ 3 }+\ldots +C_{ 2n+1 } ^{ n } $
$ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { C_{ 2n+1 } ^{ 0 }+C_{ 2n+1 } ^{ 1 }+C_{ 2n+1 } ^{ 2 }+\ldots +C_{ 2n+1 } ^{ 2n+1 } } \right ) $
$ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1+1 } \right ) ^ { 2n+1 } =2 ^ { 4038 } $.
$ \Rightarrow n=2019 $.
Xét khai triển nhị thức Niutơn: $ \left ( { 1-2x } \right ) ^ { 2019 } =\sum \limits_{ k=0 } ^ 2019 { C_{ 2019 } ^{ k }\left ( { -1 } \right ) ^ { k } 2 ^ { k } x ^ { k } } $.
Số hạng chứa $ x ^ { 3 } $ trong khai triển ứng với $ k=3 $.
Vậy hệ số của số hạng chứa $ x ^ { 3 } $ trong khai triển là: $ C_{ 2019 } ^{ 3 }\left ( { -1 } \right ) ^ { 3 } 2 ^ { 3 } $.