Bài tập nâng cao · Bài 37
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 37
Số tập con có ba phần tử của tập $\{2^1;2^2;\ldots;2^{2020}\}$ sao cho ba phần tử đó có thể xếp thành một cấp số nhân tăng bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Nhận xét: $2^a;2^b;2^c$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}2^a\cdot2^c=(2^b)^2\\a<b<c\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+c=2b\\a<b<c\end{array}\right.$.
Do đó, số tập con thỏa đề bằng với số cách chọn 3 số $a<b<c$ thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ thỏa $a+c=2b$.
Do $a+c$ chẵn nên $a,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
TH1: $a,c$ cùng chẵn.
Số cách chọn 3 số $a<b<c$ thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số chẵn khác nhau thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ là: $C_{1010}^2$.
TH2: $a,c$ cùng lẻ.
Số cách chọn 3 số $a<b<c$ thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số lẻ khác nhau thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ là: $C_{1010}^2$.
Vậy số tập con thỏa đề là: $2\cdot C_{1010}^2=1019090$.
Do đó, số tập con thỏa đề bằng với số cách chọn 3 số $a<b<c$ thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ thỏa $a+c=2b$.
Do $a+c$ chẵn nên $a,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
TH1: $a,c$ cùng chẵn.
Số cách chọn 3 số $a<b<c$ thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số chẵn khác nhau thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ là: $C_{1010}^2$.
TH2: $a,c$ cùng lẻ.
Số cách chọn 3 số $a<b<c$ thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ thỏa $a+c=2b$ bằng với số cách chọn hai số lẻ khác nhau thuộc $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ là: $C_{1010}^2$.
Vậy số tập con thỏa đề là: $2\cdot C_{1010}^2=1019090$.