Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 32

a) Ta có: $(SAB)\perp(ABCD)$;
$(SAD)\perp(ABCD)$;
$(SAB)\cap(SAD)=SA$
$\Rightarrow SA\perp(ABCD)$.
Dễ dàng chứng minh được $(SAD)\perp(SCD)$.
Vẽ $AM\perp SD$ $(M\in SD)\Rightarrow AM\perp(SCD)$
$\Rightarrow(ABM)\perp(SCD)$ hay $(ABM)$ là mặt phẳng
$(\alpha)$ qua $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$.
Trong mặt phẳng $(SCD)$ kẻ $MN\parallel CD$ $(N\in SC)$.
Suy ra: $MN\parallel AB\Rightarrow MN\subset(\alpha)$.
Vậy các giao tuyến của $(\alpha)$ với các mặt của hình chóp là $AB, BN, NM, MA$.
b) Ta có: $MN\parallel AB$ và $AB\perp AM$ (vì $AB\perp(SAD)$) nên $ABNM$ là hình thang vuông tại $A$ và $M$.
Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường cao nên
$\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$MN\parallel CD\Rightarrow\frac{MN}{CD}=\frac{SM}{SD}\Rightarrow\frac{MN}{CD}=\frac{\frac{SA^2}{SD}}{SD}=\frac{SA^2}{SD^2}=\frac{SA^2}{SA^2+AD^2}=\frac{3a^2}{4a^2}$
$\Rightarrow MN=\frac{3}{4}CD=\frac{3}{4}a$.
Vậy $S_{ABNM}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot(MN+AB)=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\left(\frac{3}{4}a+a\right)=\frac{7a^2\sqrt{3}}{16}$.