Bài tập nâng cao · Bài 68
Bài tập nâng cao Tập hợp và các phép toán trên tập hợp · Bài 68
Trong lớp $12A2$, có hơn $\frac{1}{3}$ là học sinh nữ và hơn $\frac{1}{2}$ là đoàn viên. Ngoài ra, có hơn $\frac{1}{6}$ học sinh nam không phải là đoàn viên. Chứng minh có ít nhất một học sinh nữ là đoàn viên.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $T$ là tập hợp học sinh của lớp và $A,B$ lần lượt là tập hợp học sinh nữ, tập hợp học sinh là đoàn viên. Dễ thấy rằng tập hợp học sinh nam và không là đoàn viên chính là $T\setminus(A\cup B)$. Đặt $|T|=a$ thì theo đề bài, ta có $\left\{\begin{array}{l}|A|>\frac{a}{3},\ |B|>\frac{a}{2}\\|T\setminus(A\cup B)|>\frac{a}{6}\end{array}\right.$.
Chú ý rằng $|T\setminus(A\cup B)|>\frac{a}{6}\Leftrightarrow |T|-|A\cup B|>\frac{a}{6}\Leftrightarrow |A\cup B|<a-\frac{a}{6}=\frac{5a}{6}$.
Do đó $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|>\frac{a}{3}+\frac{a}{2}-\frac{5a}{6}=0$.
Vậy $|A\cap B|\geq1$ hay có ít nhất một học sinh nữ là đoàn viên.
Chú ý rằng $|T\setminus(A\cup B)|>\frac{a}{6}\Leftrightarrow |T|-|A\cup B|>\frac{a}{6}\Leftrightarrow |A\cup B|<a-\frac{a}{6}=\frac{5a}{6}$.
Do đó $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|>\frac{a}{3}+\frac{a}{2}-\frac{5a}{6}=0$.
Vậy $|A\cap B|\geq1$ hay có ít nhất một học sinh nữ là đoàn viên.