Bài tập nâng cao Tập hợp và các phép toán trên tập hợp · Bài 67

Gọi $T,L,H$ lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, Lý, Hóa; $B$ là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn.
Theo giả thiết ta có $n(T\cap L)=9$, $n(L\cap H)=6$, $n(H\cap T)=8$.

a) Xét tổng $n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)$ thì mỗi phần tử của tập hợp $T\cap L\cap H$ được tính ba lần.
Do đó ta có: $n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)-3n(T\cap L\cap H)=n(B)$.
Hay $n(T\cap L\cap H)=\frac{1}{3}[n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)-n(B)]=4$.
Vậy có 4 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa.
b) Xét $n(T\cap L)+n(H\cap T)$ thì mỗi phần tử của tập hợp $T\cap L\cap H$ được tính hai lần, do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn Toán là:
$n(T)-[n(T\cap L)+n(H\cap T)-n(T\cap L\cap H)]=16-(9+8-4)=3$.
Tương tự, ta có số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý
$n(L)-[n(T\cap L)+n(L\cap H)-n(T\cap L\cap H)]=15-(9+6-4)=4$.
Tương tự, ta có số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa
$n(H)-[n(H\cap T)+n(L\cap H)-n(T\cap L\cap H)]=11-(8+6-4)=1$.
Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc Hóa là $3+4+1=8$.