Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) $y=\frac{1-2x^{2}}{1-\cos 2x}$
b) $y=\cos \frac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}$
c) $y=\sqrt{2-2\sin x}$
d) $y=\sqrt{\sin x-1}$
e) $y=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$.
f) $y=\tan \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$
g) $y=\cot \left( \frac{\pi}{4}-2x \right)-\frac{2}{1-\cos x}$.

Question

DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. Với hàm số $f\left( x ight)$ cho bởi biểu thức đại số thì ta có: 1. $f\left( x ight)=\frac{f_{1}\left( x ight)}{f_{2}\left( x ight) }$, điều kiện: * $f_{1}\left( x ight)$ có nghĩa * $f_{2}\left( x ight)$ có nghĩa và $f_{2}\left( x ight)
eq 0$. 2. $f\left( x ight)=\sqrt[2m]{f_{1}\left( x ight) },\left( m\in \mathbb{N} ight)$, điều kiện: $f_{1}\left( x ight)$ có nghĩa và $f_{1}\left( x ight)\geq 0$. 3. $f\left( x ight)=\frac{f_{1}\left( x ight)}{\sqrt[2m]{f_{2}\left( x ight) } },\left( m\in \mathbb{N} ight)$, điều kiện: $f_{1}\left( x ight),f_{2}\left( x ight)$ có nghĩa và $f_{2}\left( x ight)>0$. B. Hàm số $y=\sin x;y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$, như vậy $y=\sin \left[ u\left( x ight) ight];y=\cos \left[ u\left( x ight) ight]$ xác định khi và chỉ khi $u\left( x ight)$ xác định. * $y=	an \left[ u\left( x ight) ight]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x ight)$ xác định và $u\left( x ight)
eq \frac{\pi}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$. * $y=\cot \left[ u\left( x ight) ight]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x ight)$ xác định và $u\left( x ight)
eq +k\pi ;k\in \mathbb{Z}$. Chú ý Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau: 1. Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$. 2. Hàm số $y=	an x$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. 3. Hàm số $y=\cot x$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. C. Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác. Với $S\subset D_{f}$ (là tập xác định của hàm số $f\left( x ight)$) thì $* f\left( x ight)\leq m,\forall x\in S\Leftrightarrow \mathop{\max}\limits_{S}f\left( x ight)\leq m$. $* f\left( x ight)\geq m,\forall x\in S\Leftrightarrow \mathop{\min}\limits_{S}f\left( x ight)\geq m$. $* \exists x_{0}\in S,f\left( x_{0}ight)\leq m\Leftrightarrow \mathop{\min}\limits_{S}f\left( x ight)\leq m$ $* \exists x_{0}\in S,f\left( x_{0}ight)\geq m\Leftrightarrow \mathop{\max}\limits_{S}f\left( x ight)\geq m$. Tìm tập xác định các hàm số sau: a) $y=\frac{1-2x^{2}}{1-\cos 2x}$ b) $y=\cos \frac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ c) $y=\sqrt{2-2\sin x}$ d) $y=\sqrt{\sin x-1}$ e) $y=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$. f) $y=	an \left( x+\frac{\pi}{4} ight)$ g) $y=\cot \left( \frac{\pi}{4}-2x ight)-\frac{2}{1-\cos x}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Hàm số xác định khi: $1-\cos 2x
eq 0\Leftrightarrow \cos 2x
eq 1\Leftrightarrow 2x
eq k2\pi \Leftrightarrow x
eq k\pi$ Vậy TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ k\pi \,;k\in \mathbb{Z} ight\}$. b) Hàm số xác định khi: $x^{2}-1>0\Leftrightarrow x>1\,\vee \,x<-1$ Vậy TXĐ: $D=\,\left( -\infty \,;-1 ight)\,\cup \left( 1\,;+\infty ight)$. c) Hàm số xác định khi: $2-2\sin x\geq 0\Leftrightarrow \sin x\leq 1$: luôn đúng $\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow D=\mathbb{R}$. d) Hàm số xác định khi: $\sin x\geq 1$ $\left( 1 ight)$. Mặt khác: $\sin x\leq 1$ $\forall x\in \mathbb{R}$ $\left( 2 ight)$ Từ $\left( 1 ight)$ và $\left( 2 ight)$ suy ra: $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$. Vậy TXĐ: $D=\left\{ \frac{\pi}{2}+k2\pi \,;\,k\in \mathbb{Z} ight\}$ e) $y=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$: TXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\geq 0 \ 1+\cos x
eq 0 \end{array} ight.\,\,\,\left( * ight)$ Ta có: $-1\leq \cos x\leq 1,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1-\cos x\geq 0 \ 1+\cos x\geq 0 \end{array} ight.,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó: $\left( * ight)\Leftrightarrow 1+\cos x
eq 0\Leftrightarrow \cos x
eq -1\Leftrightarrow x
eq \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$ Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} ight\}$. f) $y=	an \left( x+\frac{\pi}{4} ight)$ TXĐ: $\cos \left( x+\frac{\pi}{4} ight)
eq 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}
eq \frac{\pi}{2}+k\pi \Leftrightarrow x
eq \frac{\pi}{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$ Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} ight\}$. g) $y=\cot \left( \frac{\pi}{4}-2x ight)-\frac{2}{1-\cos x}$ TXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \sin \left( \frac{\pi}{4}-2x ight)
eq 0 \ 1-\cos x
eq 0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{\pi}{4}-2x
eq k\pi \ \cos x
eq 1 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x
eq \frac{\pi}{8}-k\frac{\pi}{2} \ x
eq k2\pi \end{array} ight.$. Do đó tập xác định của hàm số: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{8}-k\frac{\pi}{2},\,k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} ight\}$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 1