Cho tam giác $ABC$. Gọi $H$ là điểm đối xứng với $B$ qua $G$, với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
a) $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
b) $\overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$, với $M$ là trung điểm của $BC$.

Question

DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng. - Các tính chất phép toán véc-tơ - Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ. - Tính chất trung điểm o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (với $O$ là điểm tùy ý). - Tính chất trọng tâm o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ (với $O$ là điểm tùy ý). Cho tam giác $ABC$. Gọi $H$ là điểm đối xứng với $B$ qua $G$, với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng a) $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. b) $\overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$, với $M$ là trung điểm của $BC$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. b) Ta có $\overrightarrow{MH}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CH}\right)=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 19