Bài tập nâng cao · Bài 18
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉC-TƠ Sử dụng kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng. - Các tính chất phép toán véc-tơ - Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ. - Tính chất trung điểm o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$. o $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$ (với $O$ là điểm tùy ý). - Tính chất trọng tâm o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. o $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ (với $O$ là điểm tùy ý).
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 18
a) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$.
b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.
c) $\overrightarrow{GH}+2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Dễ thấy $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$ nếu tam giác $ABC$ vuông.
Nếu tam giác $ABC$ không vuông, gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$, khi đó:
$BH \parallel DC$ (vì cùng vuông góc với $AC$);
$BD \parallel CH$ (vì cùng vuông góc với $AB$).
Suy ra $BDCH$ là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành thì
$\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$. (1)
Mặt khác vì $O$ là trung điểm của $AD$ nên
$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$.
b) Theo câu a) ta có
$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$
$\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OC}\right)=2\overrightarrow{HO}$.
$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ (đpcm).
c) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.
Mặt khác theo câu b) ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.
Suy ra $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG} \Leftrightarrow \left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GH}\right)-3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GH}+2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$ (đpcm).