Biết có tham số $ m_{ 0 } $ để phương trình $ x ^ { 3 } -\left ( { 3m+1 } \right )x ^ { 2 } +2mx=0 $ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Tính giá trị $ 3m_{ 0 } +1 $.

Phương trình $ x ^ { 3 } -\left ( { 3m+1 } \right )x ^ { 2 } +2mx=0⇔x\left[ x ^ { 2 } -\left ( { 3m+1 } \right )x+2m \right]=0 $ $ ⇔\left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x ^ { 2 } -\left ( { 3m+1 } \right )x+2m=0\left ( { * } \right ) \end{array} \right. $. Đặt $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -\left ( { 3m+1 } \right )x+2m. $ Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $ ⇔\left ( { * } \right ) $ có hai nghiệm phân biệt khác 0 $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 0 } \right )≠0 \\ Δ_{ \left ( { * } \right ) } =\left ( { 3m+1 } \right ) ^ { 2 } -4.2m>0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 2m≠0 \\ 9m ^ { 2 } -2m+1>0 \end{array} \right.⇔m≠0. $ Khi đó, gọi $ x_{ 1 } =0 $ và $ x_{ 2 } ,x_{ 3 } \left ( { x_{ 2 } >x_{ 3 } } \right ) $ là hai nghiệm của phương trình $ \left ( { * } \right ) $. Theo hệ thức Viet, ta có $ x_{ 2 } +x_{ 3 } =3m+1 $ và $ x_{ 2 } x_{ 3 } =2m. $ TH1: Ba số $ x_{ 3 } ,x_{ 1 } ,x_{ 2 } $ lập thành cấp số cộng