Đúng/Sai · Câu 33
(THPT Trần Nguyên Hãn - Hải Phòng 2025) Một kỹ sư A thiết kế một mô hình đường hầm như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $ 5 $(m). Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol (như hình vẽ). Diện tích của thiết diện là $ S\left ( { x } \right ) $ và chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $ h=3-\frac { 2 } { 5 }x $ với $ x $(mét) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình đến mặt phẳng chứa thiết diện.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
Thiết diện parabol có chiều cao $ h $, độ dài đáy bằng $ 2h $ có phương trình: $ \left ( { P } \right ):y=ax ^ { 2 } +h\,\,\left ( { a < 0 } \right ) $.
Theo hình vẽ, điểm $ \left ( { h;0 } \right )\in \left ( { P } \right )⇒0=ah ^ { 2 } +h⇔a=-\frac { 1 } { h } $ (do $ h>0 $).
$ ⇒\left ( { P } \right ):y=-\frac { x ^ { 2 } } { h }+h $.
a) Đúng. Diện tích của thiết diện: $ S=\int _{ -h }^{ h } { \left ( { h-\frac { x ^ { 2 } } { h } } \right ) }dx=2\int _{ 0 }^{ h } { \left ( { h-\frac { x ^ { 2 } } { h } } \right ) }dx $.
b) Sai. Thể tích của đường hầm được tính theo công thức: $ V=\int _{ 0 }^{ 5 } { S }\left ( { x } \right )dx \left ( { m ^ { 3 } } \right ) $.
c) Đúng. Parabol có chiều cao $ h $, độ dài đáy bằng $ 2h $ có phương trình là $ y=-\frac { x ^ { 2 } } { h }+h $.
d) Sai. Ta có $ S=2\int _{ 0 }^{ h } { \left ( { h-\frac { x ^ { 2 } } { h } } \right ) }dx=2\left | { \left ( { hx-\frac { x ^ { 3 } } { 3h } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ h }=\frac { 4h ^ { 2 } } { 3 } $. Mà $ h=3-\frac { 2 } { 5 }x $ nên $ S\left ( { x } \right )=\frac { 4 } { 3 }\left ( { 3-\frac { 2 } { 5 }x } \right ) ^ { 2 } $.
Thể tích của đường hầm đã cho là:
$ V=\int _{ 0 }^{ 5 } { S }\left ( { x } \right )dx=\int _{ 0 }^{ 5 } { \left[ \frac { 4 } { 3 }\left ( { 3-\frac { 2 } { 5 }x } \right ) ^ { 2 } \right] }dx≈28,89 \left ( { m ^ { 3 } } \right ) $