Bài tập nâng cao · Bài 38
1. Xác suất có điều kiện Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Xác suất của biến cố $ A $ với điểu kiện biến cố $ B $ đã xảy ra được gọi là xác suất của $ A $ với điều kiện $ B $, kí hiệu là $ P(A\|B) $. Nếu $ P(B)>0 $ thì $ P(A\|B) $ được tính như sau: $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| } $ Đồng thời lúc này ta có $ P(A∩B)=P(B)\cdot P(A\|B) $ và $ P( \bar A\|B)=1-P(A\|B) $. 2. Công thức nhân xác suất Với hai biến cố $ A,B $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P(A∩B)=P(A)\cdot P(B\|A)=P(B)\cdot P(A\|B) $ Nếu $ A,B $ là hai biến cố độc lập, trong đó $ 0 < P(B) < 1 $, người ta chứng minh được rằng $ P(A\|B)=P(A\| \bar B)=P(A) $. Điều này cho thấy, khi hai biến cố $ A,B $ độc lập thì việc biến cố $ B $ xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố $ A $. Với $ k $ biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 3 } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k-1 } } \right ) $ Nếu các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ đôi một độc lập thì $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } } \right ) $ 3. Kiến thức bổ sung a) Xác suất theo hình học Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu được biểu diễn là một miền hình học $ Ω $ có số đo $ S(Ω) $ hữu hạn, biến cố $ A $ được biểu diển là một miền hình học $ A⊂Ω $ với số đo $ S(A) $. Số đo của miền hình học có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, $ … $ tuỳ thuộc vào miền ta xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian. Khi đó, xác suất theo nghĩa hình học $ P(A) $ được cho bởi công thức $ P(A)=\frac { S(A) } { S(Ω) } $. Định nghĩa xác suất theo hình học là một sự mở rộng tương ứng của định nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp số khả năng có thể xảy ra của biến cố là vô hạn. b) Công thức Bernoulli Giả sử tiến hành $ n $ phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố $ A $ xảy ra hoặc biến cố $ A $ không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi phép thử đều bằng $ p(0\leq p\leq 1) $ và xác suất $ A $ không xảy ra bằng $ 1-p $. Khi đó xác suất để trong $ n $ phép thử độc lập nói trên, biến cố $ A $ xảy ra đúng $ k $ lần, kí hiệu là $ P_{ k } (A) $, được tính theo công thức Bernoulli: $ P_{ k } (A)=C_{ n } ^{ k }\cdot p ^ { k } \cdot (1-p) ^ { n-k } $
Bài tập nâng cao Xác suất có điều kiện · Bài 38
$ A $: "Mỗi nhóm có ít nhất một học sinh nữ";
$ B $: "Hai bạn Yên và Phong ở cùng một nhóm".
Tính các xác suất có điều kiện $ P(A\|B),P(B\|A) $.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1: Gọi $ x $ là số cách chia ngẫu nhiên 15 học sinh đó thành 3 nhóm, mỗi nhóm có đúng 5 bạn, trong đó có ít nhất một bạn nữ (rõ ràng $ \|A\|=x $). Có $ 3! $ cách hoán vị 3 nhóm này vào 3 bàn I, II, III. Do đó, số cách xếp 15 bạn học sinh vào các bàn I, II và III sao cho mỗi bàn có đúng 5 bạn, trong đó có ít nhất một bạn nữ là $ x\cdot 3! $.
Cách 2: Vì có 4 bạn nữ được xếp vào 3 bàn, mỗi bàn có ít nhất một bạn nữ nên xảy ra các khả năng sau đây:
Bàn I Bàn II Bàn III Số cách xếp
1 nữ, 4 nam 1 nữ, 4 nam 2 nữ, 3 nam $ \left ( { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 11 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 7 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 2 } ^{ 2 }C_{ 3 } ^{ 3 } } \right )=138600 $
2 nữ, 3 nam 1 nữ, 4 nam 1 nữ, 4 nam $ \left ( { C_{ 4 } ^{ 2 }C_{ 11 } ^{ 3 } } \right )\left ( { C_{ 2 } ^{ 1 }C_{ 8 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 1 } ^{ 1 }C_{ 4 } ^{ 4 } } \right )=138600 $
1 nữ, 4 nam 2 nữ, 3 nam 1 nữ, 4 nam $ \left ( { C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 11 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 3 } ^{ 2 }C_{ 7 } ^{ 3 } } \right )\left ( { C_{ 1 } ^{ 1 }C_{ 4 } ^{ 4 } } \right )=138600 $
Tổng 415800
Từ đó ta suy ra $ x\cdot 3!=415 $ 800. Vậy $ \|A\|=x=69300 $.
Lập luận tương tự, ta tính được $ \|B\|=\frac { C_{ 13 } ^{ 3 }C_{ 10 } ^{ 5 }C_{ 5 } ^{ 5 }+C_{ 13 } ^{ 5 }C_{ 8 } ^{ 3 }C_{ 5 } ^{ 5 }+C_{ 13 } ^{ 5 }C_{ 8 } ^{ 5 }C_{ 3 } ^{ 3 } } { 3! }=36036 $.
Tiếp theo, để tính số khả năng thuận lợi cho biến cố giao $ A∩B $ ta xét các trường hợp:
- Trường hợp các bàn I, II có 1 bạn nữ, 4 bạn nam, bàn III có 2 bạn nữ, 3 bạn nam. Để tính số cách xếp sao cho Yên và Phong ở cùng một bàn ta lập bảng sau:
Bàn I Bàn II Bàn III Số cách xếp
Yên, Phong, 3 bạn nam khác 1 nữ, 4 nam 2 nữ, 3 nam $ \left ( { C_{ 10 } ^{ 3 } } \right )\left ( { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 7 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 2 } ^{ 2 }C_{ 3 } ^{ 3 } } \right )=12600 $
1 nữ, 4 nam Yên, Phong, 3 bạn nam khác 2 nữ, 3 nam $ \left ( { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 10 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 6 } ^{ 3 } } \right )\left ( { C_{ 2 } ^{ 2 }C_{ 3 } ^{ 3 } } \right )=12600 $
1 nữ, 4 nam 1 nữ, 4 nam Yên, Phong, 1 bạn nữ và 2 bạn nam khác $ \left ( { C_{ 3 } ^{ 1 }C_{ 10 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 2 } ^{ 1 }C_{ 6 } ^{ 4 } } \right )\left ( { C_{ 1 } ^{ 1 }C_{ 2 } ^{ 2 } } \right )=18900 $
Tổng 44100
- Trường hợp các bàn I, III có 1 bạn nữ, 4 bạn nam, bàn II có 2 bạn nư, 3 bạn nam sao cho Yên và Phong ở cùng một bàn, cũng có 44100 cách xếp.
- Trường hợp các bàn II, III có 1 bạn nữ, 4 bạn nam, bàn I có 2 bạn nữ, 3 bạn nam sao cho Yên và Phong ở cùng một bàn, cũng có 44100 cách xếp.
Suy ra $ \|A∩B\|=\frac { 44100\cdot 3 } { 3! }=22050 $. Vậy $ P(A\|B)=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| }=\frac { 175 } { 286 },P(B\|A)=\frac { \|A∩B\| } { \|A\| }=\frac { 7 } { 22 } $.
Nhận xét. Lập luận tương tự như trên ta thấy, số cách phân hoạch một tập gồm 15 phần tử thành 3 tập con mà mỗi tập con có 5 phần tử là $ \frac { C_{ 15 } ^{ 5 }C_{ 10 } ^{ 5 }C_{ 5 } ^{ 5 } } { 3! }=126126 $. Suy ra $ \|Ω\|=126126 $.
Do vậy $ P(A)=\frac { 50 } { 91 },P(B)=\frac { 2 } { 7 },P(A∩B)=\frac { 25 } { 143 },P(A∪B)=\frac { 661 } { 1001 } $.