Bài tự luận · Bài 13
Dạng 1. Tính giá trị của các biểu thức chứa giá trị lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 13
(CTST11) Cho $\sin\alpha=\frac{3}{5},\cos\beta=\frac{12}{13}$ và $0^{\circ}<\alpha,\beta<90^{\circ}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin(\alpha+\beta)$ và $\cos(\alpha-\beta)$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ nên $\cos\alpha>0$. Do đó, $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-\left( \frac{3}{5} \right)^{2}}=\frac{4}{5}$.
Vì $0^{\circ}<\beta<90^{\circ}$ nên $\sin\beta>0$. Do đó, $\sin\beta=\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\sqrt{1-\left( \frac{12}{13} \right)^{2}}=\frac{5}{13}$.
Khi đó, $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$;
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}.$
Vì $0^{\circ}<\beta<90^{\circ}$ nên $\sin\beta>0$. Do đó, $\sin\beta=\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\sqrt{1-\left( \frac{12}{13} \right)^{2}}=\frac{5}{13}$.
Khi đó, $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$;
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}.$