Bài tự luận · Bài 12
Dạng 1. Tính giá trị của các biểu thức chứa giá trị lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 12
(CTST11) Cho $\sin\alpha+\cos\alpha=m$. Tìm $m$ để $\sin2\alpha=-\frac{3}{4}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha \right)=\sqrt{2}\sin\left( \alpha+\frac{\pi}{4} \right)$.
Vì $-1\leq \sin\left( \alpha+\frac{\pi}{4} \right)\leq 1$ nên $-\sqrt{2}\leq \sin\alpha+\cos\alpha\leq \sqrt{2}$. Suy ra $-\sqrt{2}\leq m\leq \sqrt{2}$.
Ta lại có $(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=1+\sin2\alpha$.
Suy ra $\sin2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-1=m^{2}-1$.
Khi đó, $\sin2\alpha=-\frac{3}{4}$ hay $m^{2}-1=-\frac{3}{4}$, suy ra $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$ (thoả mãn điều kiện).
Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$.
Vì $-1\leq \sin\left( \alpha+\frac{\pi}{4} \right)\leq 1$ nên $-\sqrt{2}\leq \sin\alpha+\cos\alpha\leq \sqrt{2}$. Suy ra $-\sqrt{2}\leq m\leq \sqrt{2}$.
Ta lại có $(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=1+\sin2\alpha$.
Suy ra $\sin2\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}-1=m^{2}-1$.
Khi đó, $\sin2\alpha=-\frac{3}{4}$ hay $m^{2}-1=-\frac{3}{4}$, suy ra $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$ (thoả mãn điều kiện).
Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$.