(CD10) Tại một buổi khai trương, người ta làm một cổng chào có đường viền trong của mặt cắt là đường parabol. Người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng là $4,5$ m. Từ một điểm trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất (điểm $H$) là $1,8$ m và khoảng cách từ điểm $H$ tới chân cổng gần nhất là $1$ m. Hãy tính chiều cao của cổng chào đó (tính theo đường viền trong) theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc toạ độ $O$ trùng một chân của cổng, trục hoành nằm trên đường nối hai chân cổng (đơn vị trên các trục tính theo mét) (Hình 10). Gọi hàm số bậc hai có đồ thị chứa đường viền trong của cổng chào trên là $y=ax^{2}+bx+c$.
Từ giả thiết bài toán ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm $O(0;0),A(4,5;0),B(1;1,8)$.
Thay toạ độ các điểm trên vào hàm số, ta được $c=0$ và hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4,5^{2}a+4,5b=0 \\ 1^{2}a+b=1,8\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{18}{35} \\ b=\frac{81}{35}.\end{array}\right.$
Suy ra ta có hàm số: $y=-\frac{18}{35}x^{2}+\frac{81}{35}x$. Từ đó, đỉnh của đồ thị hàm số trên có tung độ là $-\frac{18}{35}\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^{2}+\frac{81}{35}\cdot\frac{9}{4}\approx 2,6$. Vậy chiều cao của cổng là khoảng 2,6 m.
