(Sở Phú Thọ 2025) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7.

Lời giải Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $a \neq 0$, $a+b+c+d=7$. - TH1: Trong 4 chữ số có 3 chữ số bằng 0 $\Rightarrow b=c=d=0, a=7$. Có 1 số. - TH2: Trong 4 chữ số có 2 chữ số bằng 0. Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có $C_{3}^{2} = 3$ cách. Tổng 2 chữ số còn lại bằng 7: $(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6)$. Có 6 cách. Số các số: $3 \cdot 6 = 18$ số. - TH3: Trong 4 chữ số có 1 chữ số bằng 0. Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có 3 cách (chữ số 0 không đứng đầu). Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7: $(1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,3)$. Số cách hoán vị: + Với bộ (1,1,5) có $\frac{3!}{2!} = 3$ cách. + Với bộ (1,2,4) có $3! = 6$ cách. + Với bộ (1,3,3) có $\frac{3!}{2!} = 3$ cách. + Với bộ (2,2,3) có $\frac{3!}{2!} = 3$ cách. Số các số: $3 \cdot (3+6+3+3) = 3 \cdot 15 = 45$ số. - TH4: Không có chữ số nào bằng 0. Các bộ số $(a,b,c,d)$ có tổng bằng 7: + $(1,1,1,4)$ có $\frac{4!}{3!} = 4$ số. + $(1,1,2,3)$ có $\frac{4!}{2!} = 12$ số. + $(1,2,2,2)$ có $\frac{4!}{3!} = 4$ số. Số các số: $4+12+4=20$ số. Vậy có tất cả $1+18+45+20=84$ số.