Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +ax ^ { 2 } +bx+c $ ($ a,b,c $là các số thực)

a) Đúng. Ta có hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +2 $liên tục trên $ \mathbb{R} $. Suy ra hàm số liên tục trên $ \left[ -2;0 \right] $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -2 } \right )=-18 \\ f\left ( { 0 } \right )=2 \end{array} \right.⇒f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm thuộc $ \left ( { -2;0 } \right ) $. b) Đúng. Ta có hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +2 $liên tục trên $ \mathbb{R} $. Suy ra hàm số liên tục trên $ \left[ -2;3 \right] $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -2 } \right )=-18 \\ f\left ( { 0 } \right )=2 \end{array} \right.⇒f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm thuộc $ \left ( { -2;0 } \right ) $. $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 0 } \right )=2 \\ f\left ( { 2 } \right )=-2 \end{array} \right.⇒f\left ( { x } \right )=0 $ có ít nhất một nghiệm thuộc $ \left ( { 0;2 } \right ) $. Do đó phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng $ \left ( { -2;\,3 } \right ) $. c) Sai. Đặt $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +ax ^ { 2 } +bx+c $. Khi đó $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 2 } \right )=8+4a+2b+c < 0 \\ f\left ( { -2 } \right )=-8+4a-2b+c>0 \end{array} \right. $ $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm đa thức liên tục trên $ \mathbb{R} $. $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 2 } \right ) < 0 \\ f\left ( { -2 } \right )>0 \end{array} \right. $ $ ⇒f\left ( { -2 } \right ).f\left ( { 2 } \right ) < 0 $$ ⇒ $ đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ cắt trục $ Ox $ tại ít nhất một điểm trong khoảng $ \left ( { -2\,;\,2 } \right ) $. $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 2 } \right ) < 0 \\ \lim_{ x→+∞ } f\left ( { x } \right )=+∞ \end{array} \right. $ $ ⇒ $ đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ cắt trục $ Ox $ tại ít nhất một điểm trong khoảng $ \left ( { 2\,;\,+∞ } \right ) $. $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { -2 } \right )>0 \\ \lim_{ x→-∞ } f\left ( { x } \right )=-∞ \end{array} \right. $ $ ⇒ $ đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ cắt trục $ Ox $ tại ít nhất một điểm trong khoảng $ \left ( { -∞\,;\,-2 } \right ) $. Mà hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm bậc ba nên đồ thị của nó cắt trục $ Ox $ tối đa tại $ 3 $ điểm. Vậy đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ cắt trục $ Ox $ tại đúng $ 3 $ điểm. d) Đúng. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục trên $ \mathbb{R} $ và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục $ Ox $ nhiều nhất là $ 3 $. Theo đề bài ta có $ \lim_{ x→-∞ } y=-∞ $, $ \lim_{ x→+∞ } y=+∞ $ $ y\left ( { -1 } \right )=a+c-b-1>0 $,$ y\left ( { 1 } \right )=a+b+c+1 < 0 $, Do đó hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng $ \left ( { -∞;-1 } \right ) $, $ \left ( { -1;1 } \right ) $,$ \left ( { 1;+∞ } \right ) $. Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là $ 3 $.