Bài tự luận · Bài 10
Dạng 1. Tính giá trị của các biểu thức chứa giá trị lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 10
(CTST11) Cho $\sin\alpha=\frac{12}{13}$ và $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $\cos2\alpha$;
b) $\sin\left( \alpha+\frac{\pi}{3} \right)$
c) $\tan\left( \alpha+\frac{\pi}{4} \right)$
a) $\cos2\alpha$;
b) $\sin\left( \alpha+\frac{\pi}{3} \right)$
c) $\tan\left( \alpha+\frac{\pi}{4} \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Vì $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ nên $\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-\left( \frac{12}{13} \right)^{2}}=-\frac{5}{13}$.
a) $\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=2\cdot \left( -\frac{5}{13} \right)^{2}-1=-\frac{119}{169}$.
b) $\sin\left( \alpha+\frac{\pi}{3} \right)=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}=\frac{12}{13}\cdot \frac{1}{2}+\left( -\frac{5}{13} \right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12-5\sqrt{3}}{26}$.
c) Ta có $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5}$.
Suy ra $\tan\left( \alpha+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{4}}=\frac{-\frac{12}{5}+1}{1-\left( -\frac{12}{5} \right)\cdot 1}=-\frac{7}{17}$
a) $\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=2\cdot \left( -\frac{5}{13} \right)^{2}-1=-\frac{119}{169}$.
b) $\sin\left( \alpha+\frac{\pi}{3} \right)=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}=\frac{12}{13}\cdot \frac{1}{2}+\left( -\frac{5}{13} \right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{12-5\sqrt{3}}{26}$.
c) Ta có $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5}$.
Suy ra $\tan\left( \alpha+\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{4}}=\frac{-\frac{12}{5}+1}{1-\left( -\frac{12}{5} \right)\cdot 1}=-\frac{7}{17}$