Bài tự luận · Bài 2
Dạng 1. Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài tự luận Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 2
(CTST12) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) $y=f(x)=\frac{4x+3}{x-5}$
b) $y=f(x)=\frac{2x^2-3x-21}{x-4}$.
a) $y=f(x)=\frac{4x+3}{x-5}$
b) $y=f(x)=\frac{2x^2-3x-21}{x-4}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{5\}$.
Ta có:
- $\lim_{x\to 5^-}\frac{4x+3}{x-5}=-\infty; \lim_{x\to 5^+}\frac{4x+3}{x-5}=+\infty$ nên đường thẳng $x=5$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- $\lim_{x\to +\infty}\frac{4x+3}{x-5}=\lim_{x\to +\infty}\frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{5}{x}}=4; \lim_{x\to -\infty}\frac{4x+3}{x-5}=\lim_{x\to -\infty}\frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{5}{x}}=4$ nên đường thẳng $y=4$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.
Ta có
- $\lim_{x\to 4^-}\frac{2x^2-3x-21}{x-4}=+\infty; \lim_{x\to 4^+}\frac{2x^2-3x-21}{x-4}=-\infty$ nên đường thẳng $x=4$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-3x-21}{x^2-4x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2-\frac{3}{x}-\frac{21}{x^2}}{1-\frac{4}{x}}=2$ và $\lim_{x\to +\infty}(y-2x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{5x-21}{x-4}=\lim_{x\to +\infty}\frac{5-\frac{21}{x}}{1-\frac{4}{x}}=5$
nên đường thẳng $y=2x+5$ là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có:
- $\lim_{x\to 5^-}\frac{4x+3}{x-5}=-\infty; \lim_{x\to 5^+}\frac{4x+3}{x-5}=+\infty$ nên đường thẳng $x=5$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- $\lim_{x\to +\infty}\frac{4x+3}{x-5}=\lim_{x\to +\infty}\frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{5}{x}}=4; \lim_{x\to -\infty}\frac{4x+3}{x-5}=\lim_{x\to -\infty}\frac{4+\frac{3}{x}}{1-\frac{5}{x}}=4$ nên đường thẳng $y=4$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.
Ta có
- $\lim_{x\to 4^-}\frac{2x^2-3x-21}{x-4}=+\infty; \lim_{x\to 4^+}\frac{2x^2-3x-21}{x-4}=-\infty$ nên đường thẳng $x=4$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-3x-21}{x^2-4x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2-\frac{3}{x}-\frac{21}{x^2}}{1-\frac{4}{x}}=2$ và $\lim_{x\to +\infty}(y-2x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{5x-21}{x-4}=\lim_{x\to +\infty}\frac{5-\frac{21}{x}}{1-\frac{4}{x}}=5$
nên đường thẳng $y=2x+5$ là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.