Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp:
- Xét hiệu của hai vế.
- Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 34
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ đều với trọng tâm $O$, $M$ là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi $D,E,F$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC,CA,AB$.
Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $L,I$; đường thẳng đi qua $M$ song song với $CA$ cắt $BC,AB$ tại $H,K$; đường thẳng đi qua $M$ song song với $AB$ cắt $CA,BC$ tại $J,G$.
Do tam giác $ABC$ đều và $MG\parallel AB,MH\parallel AC$ nên tam giác $MGH$ cũng là một tam giác đều. Từ đó, do $MD\perp GH$ nên $D$ là trung điểm của $GH$.
Suy ra $2\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MH}$. (1)
Tương tự cũng có $2\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}; 2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{ML}$. (2)
Từ $(1),(2)$ suy ra $2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{ML}$. (3)
Do $MK\parallel AC,MJ\parallel AB$ nên tứ giác $AKMJ$ là hình bình hành. Suy ra
$\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MA}$. (4)
Tương tự, cũng có $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MC}$. (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra $2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$ (do O là trọng tâm của tam giác đều $ABC$). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
