Bài tự luận · Bài 32
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Xét hiệu của hai vế. - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 32
(KNTT10) Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,CD$ và gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kì đều có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OI}$
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OI}$
Xem lời giải
Lời giải
Do $I$ là trung điểm của $MN$ nên ta có $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=0$. (1)
Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$. (2)
Do $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}$. (3)
Từ (1), (2), (3), theo quy tắc ba điểm, ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{ID})$
$=4\overrightarrow{OI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})=4\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}$.
Từ đó và (1) suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OI}$.
Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$. (2)
Do $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}$. (3)
Từ (1), (2), (3), theo quy tắc ba điểm, ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC})+(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{ID})$
$=4\overrightarrow{OI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})=4\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IN}$.
Từ đó và (1) suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OI}$.