Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp:
- Xét hiệu của hai vế.
- Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 31
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$.
a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$.
b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$.
c) Chứng minh rằng ba điểm $G,H,O$ cùng thuộc một đường thẳng.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, nên $BH\perp CA,CH\perp AB$ (1). Kẻ đường kính $AA'$ của đường tròn ngoại tiếp $(O)$. Khi đó $O$ là trung điểm của $AA'$.
Hơn nữa $\widehat{A'CA}=90^\circ=\widehat{A'BA}$, do đó $A'C\perp CA,A'B\perp AB$. Từ đó và (1) suy ra $A'C\parallel BH,A'B\parallel CH$ và do đó tứ giác $BHCA'$ là hình bình hành. Mà $M$ là trung điểm của $BC$, suy ra $M$ cũng là trung điểm của $HA'$.
Trong tam giác $AHA'$ có $O$ là trung điểm của $AA',M$ là trung điểm của $A'H$, suy ra $OM$ là đường trung bình. Từ đó $AH\parallel OM$ và $AH=2OM$. Suy ra $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$.
b) Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AH}$.
Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}$. (1)
c) Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ nên ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$. Từ đó và (1) suy ra $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$. Bởi vậy hai vectơ $\overrightarrow{OH}$ và $\overrightarrow{OG}$ cùng phương hay $O,G,H$ cùng thuộc một đường thẳng.
