Bài tự luận · Bài 30
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Xét hiệu của hai vế. - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 30
(KNTT10) Gọi $G$ và $G'$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $ABC$ và tam giác $A'B'C'$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC,G'$ là trọng tâm tam giác $A'B'C'$ nên ta có:
$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=0$ (1) và $\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=0$ (2).
Theo quy tắc ba điểm, ta có
$\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$
$=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+3\overrightarrow{GG'}+(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'})$
$=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'})$.
Từ đó và (1), (2) suy ra $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}$.
$\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=0$ (1) và $\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=0$ (2).
Theo quy tắc ba điểm, ta có
$\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$
$=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+3\overrightarrow{GG'}+(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'})$
$=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'})$.
Từ đó và (1), (2) suy ra $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}$.