Bài tự luận · Bài 29
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Xét hiệu của hai vế. - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 29
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=2MC$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=0$.
b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM}$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=0$.
b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $M$ thuộc cạnh $BC$ và $BM=2MC$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$ ngược hướng và $\|\overrightarrow{MB}\|=2\|\overrightarrow{MC}\|$. Suy ra $\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}$ và do đó $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=0$.
b) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}; \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$.
Từ đó $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})+2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})=3\overrightarrow{AM}+(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})=3\overrightarrow{AM}$.
Nhận xét
- Điểm $M$ trong ví dụ này được gọi là điểm chia đoạn thẳng $BC$ theo tỉ số $-2$.
- Bằng lập luận tương tự ta chứng minh được điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k$ (tức là $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$) khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}=(1-k)\overrightarrow{OM}, \forall O$.