Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng thay đổi luôn luôn song song với đáy, cắt các cạnh $SA, SB, SC, SD$ lần lượt tại $M, N, P, Q$. Gọi $M', N', P', Q'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M, N, P, Q$ lên mặt đáy. Khối đa diện $MNPQM'N'P'Q'$ có thể tích lớn nhất khi tỉ số $\frac{SM}{SA}$ bằng $k$, tính $3k$.

Lời giải Đặt $\frac{SM}{SA} = k$, với $k \in (0; 1)$. Vì mặt phẳng $(MNPQ) \parallel (ABCD)$ nên các tam giác tỉ lệ: $$ \frac{MN}{AB} = \frac{MQ}{AD} = \frac{SM}{SA} = k \Rightarrow MN = k \cdot AB, \quad MQ = k \cdot AD $$ Gọi $h$ là chiều cao hình chóp $S.ABCD$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt đáy là: $$ MM' = h \cdot \frac{AM}{SA} = h(1 - k) $$ Thể tích khối đa diện $MNPQM'N'P'Q'$ (hình hộp chữ nhật nếu đáy là HCN, tổng quát là lăng trụ đứng): $V_{\max} = MN \cdot MQ \cdot MM' = (k \cdot AB)(k \cdot AD)(h(1 - k)) = k^2(1 - k) \cdot (AB \cdot AD \cdot h)$. Vì $V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \cdot AB \cdot AD \cdot h = V_{const}$, nên $V_{MNPQ...} = 3 V_{const} \cdot k^2(1 - k)$. Để thể tích lớn nhất, xét hàm $f(k) = k^2(1 - k) = k^2 - k^3$. $$ f'(k) = 2k - 3k^2 = k(2 - 3k) = 0 \Rightarrow k = \frac{2}{3} $$ Vậy tỉ số $\frac{SM}{SA} = \frac{2}{3}$. Giá trị cần tính là $3k = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.