Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất ở vị trí $ A $ để ngắm các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng mục tiêu $ B $ cách mặt đất $ 40m $ tại góc ngắm $ α $ (góc hợp bởi phương bắn với phương ngang). Nếu tăng góc ngắm đó lên $ 2 $ lần thì vận động viên bắn trúng mục tiêu $ C $ cách mặt đất $ 90m $ (hình vẽ). Khi đó khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng bao nhiêu mét?

Đặt: $ AH=x $. Điều kiện: $ 0 < x≠40 $. Xét tam giác $ ACH $ vuông tại $ H $, có: $ \tan2α=\frac { HC } { AH }=\frac { 90 } { x } $. Xét tam giác $ ABH $ vuông tại $ H $, có: $ \tanα=\frac { HB } { AH }=\frac { 40 } { x } $. Ta có: $ \tan2α=\frac { 2\tanα } { 1-\tan ^ { 2 } α } ⇔\frac { 90 } { x }=\frac { 2⋅\frac { 40 } { x } } { 1-\frac { 1600 } { x ^ { 2 } } } ⇔\frac { 90 } { x }=\frac { \frac { 80 } { x } } { \frac { x ^ { 2 } -1600 } { x ^ { 2 } } } ⇔\frac { 90 } { x }=\frac { 80x } { x ^ { 2 } -1600 } $ $ ⇔9\left ( { x ^ { 2 } -1600 } \right )=8x ^ { 2 } ⇔x ^ { 2 } =14400⇔x=120. $ Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là: $ AH=120m $.