Bài tập nâng cao · Bài 29
F. BÀI TẬP NÂNG CAO Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 29
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm $ 7 $ chữ số khác nhau có dạng $ a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } $. Tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số $ 3 $và thỏa mãn $ a_{ 1 } < a_{ 2 } < a_{ 3 } < a_{ 4 } >a_{ 5 } >a_{ 6 } >a_{ 7 } $.
Xem lời giải
Lời giải
Không gian mẫu của việc lập ra số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau là : $ A_{ 10 } ^{ 7 }-A_{ 9 } ^{ 6 } $.
Để số lập được thỏa mãn đề bài ta có cách chọn $ a_{ 4 } $ như sau:
TH1 : $ a_{ 4 } =6 $, ta có $ C_{ 5 } ^{ 3 } $cách chọn 3 số đứng trước $ a_{ 4 } $, còn lại có $ C_{ 3 } ^{ 3 } $cách chọn 3 số đứng sau$ a_{ 4 } $ mà mỗi cách chọn bộ số đứng trước và đứng sau $ a_{ 4 } $ chỉ có một cách sắp thứ tự thỏa mãn đề bài. Vậy số lập được trong trường hợp này là : $ C_{ 5 } ^{ 3 }.C_{ 3 } ^{ 3 } $.
TH2: $ a_{ 4 } =7 $
*) Nếu số 3 đứng trước $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 5 } ^{ 2 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 4 } ^{ 3 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 5 } ^{ 2 }.C_{ 4 } ^{ 3 }=40 $.
*) Nếu số 3 đứng sau $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 5 } ^{ 3 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 3 } ^{ 2 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 5 } ^{ 3 }.C_{ 3 } ^{ 2 }=30 $.
TH3: $ a_{ 4 } =8 $
*) Nếu số 3 đứng trước $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 6 } ^{ 2 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 5 } ^{ 3 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 6 } ^{ 2 }.C_{ 5 } ^{ 3 }=150 $.
*) Nếu số 3 đứng sau $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 6 } ^{ 3 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 4 } ^{ 2 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 6 } ^{ 3 }.C_{ 4 } ^{ 2 }=120 $.
TH4: $ a_{ 4 } =9 $
*) Nếu số 3 đứng trước $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 7 } ^{ 2 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 6 } ^{ 3 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 7 } ^{ 2 }.C_{ 6 } ^{ 3 }=420 $.
*) Nếu số 3 đứng sau $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 7 } ^{ 3 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 5 } ^{ 2 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 7 } ^{ 3 }.C_{ 5 } ^{ 2 }=350 $.
Vậy số phần tử của biến cố $ A $: “ số được chọn luôn có mặt chữ số $ 3 $và thỏa mãn $ a_{ 1 } < a_{ 2 } < a_{ 3 } < a_{ 4 } >a_{ 5 } >a_{ 6 } >a_{ 7 } $.” là $ n(A)=1120 $.
Vậy xác suất của biến cố $ A $ là: $ P(A)=\frac { 10+40+30+150+120+420+350 } { A_{ 10 } ^{ 7 }-A_{ 9 } ^{ 6 } }=\frac { 1 } { 486 } $.
Để số lập được thỏa mãn đề bài ta có cách chọn $ a_{ 4 } $ như sau:
TH1 : $ a_{ 4 } =6 $, ta có $ C_{ 5 } ^{ 3 } $cách chọn 3 số đứng trước $ a_{ 4 } $, còn lại có $ C_{ 3 } ^{ 3 } $cách chọn 3 số đứng sau$ a_{ 4 } $ mà mỗi cách chọn bộ số đứng trước và đứng sau $ a_{ 4 } $ chỉ có một cách sắp thứ tự thỏa mãn đề bài. Vậy số lập được trong trường hợp này là : $ C_{ 5 } ^{ 3 }.C_{ 3 } ^{ 3 } $.
TH2: $ a_{ 4 } =7 $
*) Nếu số 3 đứng trước $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 5 } ^{ 2 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 4 } ^{ 3 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 5 } ^{ 2 }.C_{ 4 } ^{ 3 }=40 $.
*) Nếu số 3 đứng sau $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 5 } ^{ 3 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 3 } ^{ 2 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 5 } ^{ 3 }.C_{ 3 } ^{ 2 }=30 $.
TH3: $ a_{ 4 } =8 $
*) Nếu số 3 đứng trước $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 6 } ^{ 2 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 5 } ^{ 3 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 6 } ^{ 2 }.C_{ 5 } ^{ 3 }=150 $.
*) Nếu số 3 đứng sau $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 6 } ^{ 3 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 4 } ^{ 2 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 6 } ^{ 3 }.C_{ 4 } ^{ 2 }=120 $.
TH4: $ a_{ 4 } =9 $
*) Nếu số 3 đứng trước $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 7 } ^{ 2 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 6 } ^{ 3 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 7 } ^{ 2 }.C_{ 6 } ^{ 3 }=420 $.
*) Nếu số 3 đứng sau $ a_{ 4 } $ có $ C_{ 7 } ^{ 3 } $cách chọn ra bộ số đứng trước $ a_{ 4 } $, $ C_{ 5 } ^{ 2 } $cách chọn bộ số đứng sau $ a_{ 4 } $. Vậy có $ C_{ 7 } ^{ 3 }.C_{ 5 } ^{ 2 }=350 $.
Vậy số phần tử của biến cố $ A $: “ số được chọn luôn có mặt chữ số $ 3 $và thỏa mãn $ a_{ 1 } < a_{ 2 } < a_{ 3 } < a_{ 4 } >a_{ 5 } >a_{ 6 } >a_{ 7 } $.” là $ n(A)=1120 $.
Vậy xác suất của biến cố $ A $ là: $ P(A)=\frac { 10+40+30+150+120+420+350 } { A_{ 10 } ^{ 7 }-A_{ 9 } ^{ 6 } }=\frac { 1 } { 486 } $.